Coronavirus eta Matematika Hezkuntza - Partzialki agindutako bildumak
Kutsatu gaituen birusak hezkuntza erreforma azkarra eragiten du. batez ere goi mailako hezkuntza-mailetan. Gai honi buruzko saiakera luzeago bat idatzi liteke; zalantzarik gabe, urrutiko ikaskuntza-metodoei buruzko doktorego-tesiak izango dira. Ikuspegi jakin batetik, jatorrietara eta ahaztutako autoikaskuntza ohituretara itzultzea da hori. Hala gertatu zen, adibidez, Kremenetseko bigarren hezkuntzan (Kremenetsen, gaur egun Ukrainan, 1805-31n egon zena, 1914ra arte landaredia izan zuen eta 1922-1939an bere garai gorena bizi izan zuena). Ikasleek euren kabuz ikasten zuten bertan –ikasi ondoren bakarrik etortzen ziren irakasleak zuzenketak, azken argipenak, leku zailetan laguntzak, etab. d.Ikasle bihurtu nintzenean ere esaten zuten guk geuk hartu behar dugula ezagutza, unibertsitatean klaseak soilik agindu eta bidali daitezkeela. Baina orduan teoria bat baino ez zen...
2020ko udaberrian, ez nintzen ikasgaiak (hitzaldiak, ariketak, etab. barne) oso modu eraginkorrean egin daitezkeela urrunetik (Google Meet, Microsoft Teams, etab.) deskubritu zuen bakarra, lan askoren truke. irakaslearen aldetik eta "heziketa bat lortzeko" nahia besterik ez bestetik; baina baita nolabaiteko erosotasunarekin: etxean eserita nago, nire aulkian, eta ohiko hitzaldietan ikasleek ere beste zerbait egiten zuten maiz. Prestakuntza horren eragina are hobea izan daiteke Erdi Arotik datorren ikasgela-ikasgai sistema tradizionalarekin baino. Zer geratuko da birusa pikutara doanean? Uste dut... asko. Baina ikusiko dugu.
Gaur partzialki ordenatutako multzoei buruz hitz egingo dut. Sinplea da. X multzo ez-huts batean erlazio bitar bat ordena partzialeko erlazioa dagoenean deitzen denez
(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosofoa,
Poloniako Zientzien Akademiako presidentea 1957-1962 bitartean).
- Erreflexiboa, hau da, ∈ bakoitzeko “,
- Pasatzailea, alegia. bada ", eta ", orduan ",
- Erdi-asimetrikoak, hau da. ("∧")→ =
Errenkada bat propietate hau duen multzoa da: edozein elementuren kasuan, “edo y” multzoa da. Antikatea da...
Gelditu, gelditu! Honetatik ezer uler daiteke? Jakina da. Baina Irakurleren batek (bestela ez dakiena) ulertu al du jada hemen dagoena?
Ez pentsa! Eta horixe da matematika irakasteko kanona. Baita eskolan ere. Lehenik eta behin, definizio duin eta zorrotza, eta gero, asperduragatik loak hartzen ez dutenek, zalantzarik gabe, zerbait ulertuko dute. Metodo hau matematikako irakasle "handiek" inposatu zuten. Txukuna eta zorrotza izan behar du. Egia da horrela izan behar dela azkenean. Matematikak zientzia zehatza izan behar du (ikusi ere: ).
Aitortu behar dut Varsoviako Unibertsitatetik erretiroa hartu ostean lan egiten dudan unibertsitatean ere irakaskuntza eman nuela urte askotan. Bakarrik zegoen ur hotzaren ontzi sonatua (gera bedi horrela: ontzi baten beharra zegoen!). Bat-batean, abstrakzio handia arina eta atsegina bihurtu zen. Ezarri puntua: erraza ez da erraza esan nahi. Boxeolari arinek ere zailtasunak ditu.
Nire oroitzapenekin irribarre egingo dut. Matematikaren oinarriak irakatsi zizkidan orduko fakultateko dekanoak, Estatu Batuetako egonaldi luze batetik heldu berria zen lehen mailako matematikaria, garai hartan berez aparteko zerbait baitzen. Uste dut esnob samarra zela poloniar pixka bat ahaztu zuenean. Poloniako “hori”, “beraz”, “azale” zaharra gehiegi erabili zuen eta termino hau asmatu zuen: “erlazio erdi-asimetrikoa”. Asko gustatzen zait erabiltzea, oso zehatza da. Gustoko dut. Baina nik ez diet hori eskatzen ikasleei. Hau "antisimetria baxua" deitu ohi zaio. Hamar eder.
Aspaldi, hirurogeita hamarreko hamarkadan (azken mendeko) matematikaren irakaskuntzaren erreforma handi eta alai bat egin zelako. Honek Eduard Gierek-en erregealdi aldi labur baten hasierarekin bat egin zuen, gure herria mundura behin betiko irekitzearekin. «Haurrei goi mailako matematika ere irakatsi ahal zaie», oihukatu zuten Irakasle Handiek. "Matematikaren oinarriak" unibertsitateko hitzaldiaren laburpena egin zen haurrentzat. Polonian ez ezik, Europa osoan izan zen joera hori. Ekuazioa ebaztea ez zen nahikoa; xehetasun guztiak azaldu behar ziren. Funtsik gabekoa ez izateko, Irakurle bakoitzak ekuazio-sistema ebatzi dezake:
baina ikasleek pauso bakoitza justifikatu behar zuten, enuntziatu garrantzitsuak aipatu, etab. Formaren gehiegikeria klasikoa zen substantziaren aldean. Erraza zait orain kritikatzea. Ni ere planteamendu honen aldekoa izan nintzen behin. Zirraragarria da... matematika zaleak diren gazteentzat. Zalantzarik gabe (eta, arretaren mesedetan, ni).
Baina nahikoa digresio lirikoarekin, hel gaitezen puntura: “teorian” bigarren mailako politekniko ikasleei zuzendutako hitzaldia eta horregatik ez balitz koko malutak bezain lehorra izango zen. Pixka bat exageratzen ari naiz...
Egun on zuretzat. Gaurko gaia garbiketa partziala da. Ez, hau ez da garbiketa arduragabearen iradokizuna. Konparazio hobea zein den hobea kontuan hartzea litzateke: tomate zopa edo krema tarta. Erantzuna argia da: zeren araberakoa da. Postrerako - galletak, eta plater elikagarri baterako: zopa.
Matematikan zenbakiak lantzen ditugu. Ordenatuta daude: handiagoak eta txikiagoak dira, baina bi zenbaki ezberdinekoak, bata txikiagoa da beti, hau da, bestea handiagoa da. Ordenan ordenatuta daude, alfabetoko letrak bezala. Klaseko erregistroan, ordena hau izan daiteke: Adamczyk, Baginskaya, Chojnicki, Derkovsky, Elget, Filipov, Grzecnik, Kholnicki (nire gelako lagunak eta ikaskideak dira!). Ez dugu dudarik ere Matusiak “Matusheliansky” Matuszewski “Matysiak. "Desberdintasun bikoitzaren" sinboloak "aurretik" esan nahi du.
Nire mendizaleen klubean zerrendak ordena alfabetikoan egiten saiatzen gara, baina izenez, adibidez Alina Wronska “Warwara Kaczarowska”, Cesar Boushitz, etab. Txosten ofizialetan ordena alderantzikatuko litzateke. Matematikariek ordena alfabetikoari lexikografikoa deitzen diote (lexikoa hiztegi baten antzekoa da gutxi gorabehera). Bestalde, ordena hau, zeinetan bi zatiz osatutako izen batean (Michal Szurek, Alina Wronska, Stanislav Smarzynski) lehenik bigarren zatiari erreparatzen diogun, matematikarientzako ordena antilexikografikoa da. Izenburu luzeak, baina eduki oso sinpleak.
1. Ordena lineala: 1899an eraikitako Habovka - Zakopane trenbidearen ibilbidearen geltokiak eta geralekuak, Podhaletik (irakurleari uzten diot laburduren deskodetzea).
Agindu horiei guztiei lerro-agindu deitzen zaie. Ordenan ordenatzen dugu: lehenengoa, bigarrena, hirugarrena. Dena ondo dago, lehen puntutik azkenera arte. Horrek ez du beti zentzurik. Azken finean, liburutegian liburuak antolatzen ditugu ez horrela, atalka baizik. Sailaren barruan bakarrik antolatzen dugu linealki (normalean alfabetikoki).
2. Ordena lineala: autoaren motorra abiaraztean adostutako ordenan egiten ditugu ekintzak.
Proiektu handiagoekin, batez ere talde-lanarekin, jada ez dugu orden lineal bat. Eman dezagun begirada bat irud. 3. Hotel txiki bat eraiki nahi dugu. Dagoeneko badugu dirua (0 gelaxka). Baimenak prestatzen ditugu, materialak biltzen, eraikitzen hasten gara eta, aldi berean, publizitate kanpaina bat egiten dugu, langileak bilatzen, eta abar. "10" iristen garenean, lehenengo gonbidatuek check-in egin dezakete (adibidez, Dombrowski jaunaren eta Krakoviako aldirietako hotel txikiaren istorioetatik). Daukagu ordena ez-lineala – Gauza batzuk paraleloan gerta daitezke.
Ekonomian, bide kritikoaren kontzeptua ikasten duzu. Sekuentzialki egin beharreko ekintzen multzoa da (eta matematikan kate deitzen zaio horri, momentu batean gehiago), eta denbora gehien hartzen dutenak. Eraikuntza denbora murriztea bide kritikoaren berrantolaketa bat da. Baina honetaz gehiago beste hitzaldi batzuetan (gogora dezadan “unibertsitateko hitzaldia” ematen ari naizela). Matematikan zentratzen gara.
3. irudia bezalako diagramei Hasse diagramak deitzen zaie (Helmut Hasse, alemaniar matematikaria, 1898–1979). Ahalegin konplexu guztiak horrela planifikatu behar dira. Ekintzen sekuentziak ikusten ditugu: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematikariek soka deitzen diete. Ideia osoa lau kateez osatuta dago. Aitzitik, 1-2-3-4, 5-6-7 eta 8-9 jarduera-taldeak antikateak dira. Hala deitzen zaie. Kontua da talde jakin batean ez dagoela ekintza bat ere aurrekoaren menpe.
4. Hau ere Hasse diagrama bat da.
goazen honetara irudia 4. Zer da ikusgarria? Baina hau hiri batzuetan metroko mapa bat izan daiteke! Lurpeko trenbideak lerrotan biltzen dira beti, ez dira batetik bestera joaten. Lerroak lerro banakoak dira. Hirian, arroza. 4 bai labea lerroa (gogoratu hori labea "boldem" idatzita - polonieraz erdi lodi deitzen zaio).
Diagrama honetan (4. irudia) ABF hori laburra, sei estazioko ACFKPS, ADGL berdea, DGMRT urdina eta gorri luzeena daude. Matematikariak esango du: Hasse diagrama honetan dago labea kateak. Marra gorrian dago zazpi geltokia: AEINRUV. Zer gertatzen da antikateekin? Hor daude zazpi. Irakurlea jada ohartu da bi aldiz azpimarratu nuela hitza zazpi.
Aurreikuspena Hau geltoki multzo bat da, non ezinezkoa baita transferentziarik gabe haietako batetik bestera heltzea. Apur bat "asmatzen" dugunean, antikate hauek ikusiko ditugu: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, SR. Mesedez, egiaztatu, adibidez, BCLTV edozein geltokitik ezin dela beste BCTLV batera bidaiatu aldatu gabe, edo zehatzago esanda: behean agertzen den geltokira itzuli beharrik gabe. Zenbat antikate daude? zazpi. Zein tamaina du handiena? Labean (berriro letra lodiz).
Imajina dezakezue, ikasleok, zenbaki hauen kointzidentzia ez dela ustekabekoa. Hau. Hau Robert Palmer Dilworth-ek (1950–1914, matematikari estatubatuarra) aurkitu eta frogatu zuen (hau da, beti egia) 1993ean. Multzo osoa estaltzeko behar den lerro kopurua antikate handienaren tamainaren berdina da, eta alderantziz: antikateen kopurua antikate luzeenaren luzeraren berdina da. Hau partzialki ordenatutako multzo batean gertatzen da beti, hau da. ikus daitekeen bat. Hassego diagrama. Hau ez da definizio guztiz zorrotza eta zuzena. Horixe deitzen diote matematikariek "laneko definizioa". Hau zertxobait ezberdina da "laneko definizioa". Hau partzialki ordenatutako multzoak ulertzeko aholkua da. Hau edozein prestakuntzaren zati garrantzitsu bat da: ikusi nola funtzionatzen duen.
Ingelesezko laburdura hauxe da: hitz honek soinu ederra dauka eslaviar hizkuntzetan, kardoaren antzekoa. Kontuan izan kardoak ere adarkatuta daudela.
Oso ederra, baina nork behar du? Zuek, ikasle maiteok, behar duzue azterketa gainditzeko eta, ziurrenik, hori ikasteko arrazoi aski ona da. Entzuten ari naiz, zer galdera? Entzuten ari naiz, jauna, leiho azpitik. Oh, galdera da, hau inoiz erabilgarria izango al zaio Jaunari zure bizitzan? Agian ez, baina zu baino adimentsuagoa den norbaitentzat ziur... Proiektu ekonomiko konplexu batean bide kritikoa aztertzeagatik agian?
Ekainaren erdialdean idazten ari naiz testu hau; Varsoviako Unibertsitatean errektorerako hauteskundeak egiten ari dira. Interneteko erabiltzaileen hainbat iruzkin irakurri ditut. Gorroto (edo "gorrotoa") kopuru harrigarria dago "pertsona ikasiekiko". Norbaitek esplizituki idatzi zuen unibertsitate-ikasketak dituztenek unibertsitate-ikasketak dituztenek baino gutxiago dakitela. Ez naiz eztabaidan sartuko, noski. Triste nago Poloniako Herri Errepublikan dena mailuarekin eta zizelarekin egin daitekeen iritzia itzultzen ari delako. Matematiketara itzuliko naiz.
Dillworth-en teorema hainbat aplikazio interesgarri ditu. Horietako bat ezkontza teorema bezala ezagutzen da.irud. 6).
Emakumezkoen talde bat dago (neskak ziurrenik) eta gizonezkoen talde apur bat handiagoa. Neska bakoitzak honelako zerbait pentsatzen du: "Honekin, honekin, honekin ezkondu nezake, baina inoiz hirugarren batekin nire bizitzan". Eta horrela, bakoitzak bere lehentasunak ditu. Diagrama bat marraztuko dugu, horietako bakoitzari aldarerako hautagai gisa baztertzen ez duen tipoaren gezi bat eramanez. Galdera: bikoteak parekatu daitezke, bakoitzak onartzen duen senarra aurki dezan?
Philip Hall-en teorema, hori egin daitekeela dio -baldintza batzuen arabera, hemen eztabaidatuko ez ditudanak (gero hurrengo hitzaldian, ikasleak, mesedez). Kontuan izan, ordea, gizonezkoen gogobetetasuna ez dela batere aipatzen hemen. Dakizuenez, emakumeak dira aukeratzen gaituztenak, eta ez alderantziz, guk uste dugun bezala (gogora dezadan ni naizela egilea, ez egilea).
Matematika serio batzuk. Nola jarraitzen du Hall-en teorema Dilworth-etik? Oso sinplea da. Ikus dezagun berriro 6. Irudia. Bertan dauden kateak oso motzak dira: 2ko luzera dute (noranzkoan doaz). Gizon txikien multzoa antikate bat da (geziek elkarrengana soilik zuzentzen dutelako hain zuzen). Horrela bilduma oso bat gizon adina antikatez estali dezakezu. Beraz, emakume bakoitzak gezi bat izango du. Horrek esan nahi du onartzen duen mutila dirudiela!!!
Itxaron, norbaitek galdetuko du, hori al da? Hau al da aplikazio osoa? Hormonak nolabait konpontzen dira eta zergatik matematika? Lehenik eta behin, hau ez da aplikazio osoa, serie handi bateko bakarra baizik. Ikus dezagun horietako bat. Esan dezagun (6. irudia) ez sexu hobearen ordezkariak, erosle prosaikoak baizik, eta hauek markak dira, adibidez, autoak, garbigailuak, pisua galtzeko produktuak, bidaia agentzien eskaintzak, etab. Erosle bakoitzak onartzen dituen markak ditu. eta baztertzen. Zerbait egin daiteke denei zerbait saltzeko eta nola? Hor amaitzen dira txantxak ez ezik, gai honi buruzko artikuluaren egilearen ezagutza ere. Dakidan bakarra da analisia matematika nahiko konplexu batean oinarritzen dela.
Matematika eskolan irakastea algoritmoak irakastea da. Hau prestakuntzaren zati garrantzitsu bat da. Baina pixkanaka-pixkanaka matematika ez hainbeste metodo matematikoa irakastera goaz. Honen ingurukoa izan da gaurko hitzaldia: buruko eraikuntza abstraktuez hitz egiten dugu, eguneroko bizitzaz pentsatzen dugu. Erosle-saltzaile ereduetan erabiltzen ditugun alderantzizko, iragankor eta bestelako erlazioak dituzten multzoetan kateez eta antikateez ari gara. Ordenagailuak egingo dizkigu kalkulu guztiak. Ez du eredu matematikorik sortuko oraindik. Oraindik gure pentsamenduarekin irabazten dugu. Edonola ere, espero dut ahalik eta denbora gehien izatea!
