Bidaia matematikaren mundu irrealera

Artikulu hau inguruetako batean idatzi nuen, informatika fakultate batean hitzaldi eta praktika baten ondoren. Ikastetxe honetako ikasleei, haien ezagutzari, zientziarekiko jarrerari eta, batez ere, irakaskuntzarako gaitasunari, kritiken aurrean defendatzen dut. Hau... inork ez die irakasten.

Zergatik nago horren defentsan? Arrazoi sinple bategatik - seguruenik, gure inguruko mundua oraindik ulertzen ez den adin batean nago. Agian irakasten ari naiz zaldiak arnastu eta askatzen, eta ez kotxerik gidatzen? Agian luma batekin idazten irakatsiko diet? Pertsona bati buruz iritzi hobea dudan arren, "jarraitzen" naizela uste dut, baina...

Duela gutxi arte, institutuan, zenbaki konplexuei buruz hitz egiten zuten. Eta asteazken honetan etxeratu nintzen, irten nintzen - ia ikasleetako inork ez du oraindik ikasi zer den eta nola erabili zenbaki hauek. Batzuek matematika guztiak antzara bezala ikusten dituzte margotutako ate batean. Baina benetan harrituta geratu nintzen nola ikasi behar zen esan zidatenean. Besterik gabe, hitzaldi bateko ordu bakoitza bi orduko etxeko lanak dira: testu liburu bat irakurtzea, gai jakin bati buruzko problemak nola ebazten ikastea, etab. Horrela prestatuta, ariketetara iristen gara, non dena hobetzen dugun... Atsegin handiz, ikasleek, itxuraz, pentsatu zuten hitzaldian eserita egoteak -gehienetan leihotik begira- dagoeneko bermatzen duela ezagutza buruan sartzea.

Gelditu! Nahikoa da honekin. Nire erantzuna deskribatuko dut, herrialde osoko talentudun umeak onartzen dituen erakundea den National Children's Fund-eko bekadunekin klase batean jaso nuen galdera bati. Galdera (edo, hobeto esanda, iradokizuna) hau zen:

— Zenbaki irrealei buruz zerbait esan al diguzu?

"Noski", erantzun nion. 

Zenbakien errealitatea

"Lagun bat beste ni bat da, adiskidetasuna 220 eta 284 zenbakien erlazioa da", esan zuen Pitagorasek. Kontua da 220 zenbakiaren zatitzaileen batura 284 dela eta 284 zenbakiaren zatitzaileen batura 220 dela:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Bide batez, nabarmentzen dugu Bibliako Jakobek Esauri 220 ardi eta ahari eman zizkiola adiskidetasunaren seinale (Hasiera 32:14). ).

220 eta 284 zenbakien arteko beste kointzidentzia interesgarri bat hau da: hamazazpi zenbaki lehen altuenak 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 dira, eta 59.

Haien batura 2x220 da, eta karratuen batura 59x284.

Lehenengoa. Ez dago "zenbaki erreala" kontzepturik. Elefanteei buruzko artikulu bat irakurri ondoren, "Orain elefanteak ez direnak eskatuko ditugu" galdetzen duzu. Osoak eta ez osoak, arrazionalak eta irrazionalak daude, baina ez daude irrealak. Zehazki: Errealak ez diren zenbakiei ez zaie baliogabe esaten. Matematikan "zenbaki" mota asko daude, eta bata bestearengandik desberdinak dira, adibidez -konparazio zoologikoa egiteko- elefantea eta lur-harra.

Bigarrenik, dagoeneko debekatuta daudela jakingo dituzun eragiketak egingo ditugu: erro karratuak zenbaki negatiboetatik ateratzea. Bada, matematikak halako oztopoak gaindituko ditu. Zentzurik ba al du ordea? Matematikan, beste edozein zientziatan bezala, teoria bat ezagutzaren biltegian betiko sartzen den ala ez... haren aplikazioaren araberakoa da. Alferrikakoa bada, zaborrontzira amaitzen da, gero ezagutzaren historiaren zabor batzuetan. Artikulu honen amaieran hitz egiten dudan zenbakirik gabe, ezinezkoa da matematika garatzea. Baina has gaitezen gauza txiki batzuekin. Zer diren benetako zenbakiak, badakizu. Zenbaki-lerroa trinko eta hutsunerik gabe betetzen dute. Zenbaki naturalak zer diren ere badakizu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...... - denak ez dira sartuko memoriarik handiena ere. Izen ederra ere badute: naturala. Hainbeste propietate interesgarri dituzte. Nola gustatzen zaizu hau:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² 15 +² 42 +² 98 +² 123 +² 179 +² 206 +² 220 +² = 3² 11 +² 46 +² 92 +² 129 +² 175 +² 210 +² 218 +²

1³ 15 +³ 42 +³ 98 +³ 123 +³ 179 +³ 206 +³ 220 +³ = 3³ 11 +³ 46 +³ 92 +³ 129 +³ 175 +³ 210 +³ 218 +³

1⁴ 15 +⁴ 42 +⁴ 98 +⁴ 123 +⁴ 179 +⁴ 206 +⁴ 220 +⁴ = 3⁴ 11 +⁴ 46 +⁴ 92 +⁴ 129 +⁴ 175 +⁴ 210 +⁴ 218 +⁴

1⁵ 15 +⁵ 42 +⁵ 98 +⁵ 123 +⁵ 179 +⁵ 206 +⁵ 220 +⁵ = 3⁵ 11 +⁵ 46 +⁵ 92 +⁵ 129 +⁵ 175 +⁵ 210 +⁵ 218 +⁵

1⁶ 15 +⁶ 42 +⁶ 98 +³ 123 +⁶ 179 +⁶ 206 +⁶ 220 +⁶ = 3⁶ 11 +⁶ 46 +⁶ 92 +⁶ 129 +⁶ 175 +⁶ 210 +⁶ 218 +⁶

1⁷ 15 +⁷ 42 +⁷ 98 +³ 123 +⁷ 179 +⁷ 206 +⁷ 220 +⁷ = 3⁷ 11 +⁷ 46 +⁷ 92 +⁷ 129 +⁷ 175 +⁷ 210 +⁷ 218 +⁷

«Naturala da zenbaki naturalak interesatzea», esan zuen Karl Lindenholmek, eta Leopold Kronecker-ek (1823–1891) labur-labur esan zuen: «Jainkoak sortu zituen zenbaki naturalak; beste guztia gizakiaren lana da!». Zatikiak (matematikariek zenbaki arrazionalak deitzen dituztenak) ere propietate harrigarriak dituzte:

eta berdintasunean:

ezkerretik hasita, plusak igurtzi eta biderketa zeinuekin ordezkatu ditzakezu - eta berdintasuna egia izango da:

Eta abar.

Dakizuenez, a/b zatikietarako, non a eta b zenbaki osoak diren eta b ≠ 0, esaten dute zenbaki arrazionala. Baina polonieraz bakarrik deitzen diote euren buruari. Ingelesa, frantsesa, alemana eta errusiera hitz egiten dute. zenbaki arrazionala. Ingelesez: zenbaki arrazionalak. Zenbaki irrazionalak irrazionala da, irrazionala. Polonieraz ere hitz egiten dugu teoria, ideia eta egite irrazionalei buruz - hau eromena da, imajinarioa, esplikaezina. Emakumeek saguei beldurra dietela diote, ez al da hain irrazionala?

Antzina, zenbakiek arima zuten. Bakoitzak zerbait esan nahi zuen, bakoitzak zerbait sinbolizatzen zuen, bakoitzak Unibertsoaren harmonia horren partikula bat islatzen zuen, hau da, grezieraz, Kosmosa. "Kosmos" hitzak "ordena, ordena" esan nahi du. Garrantzitsuenak sei (zenbaki perfektua) eta hamar izan ziren, 1+2+3+4 ondoz ondoko zenbakien batura, beste zenbaki batzuekin osatua, zeinen sinbolismoa gaur arte iraun baitu. Beraz, Pitagorasek irakatsi zuen zenbakiak direla guztiaren hasiera eta iturria, eta aurkikuntza soilik zenbaki irrazionalak mugimendu pitagorikoa geometriarantz biratu zuen. Eskolatik badakigu arrazoibidea hori

√2 zenbaki irrazionala da

Demagun badela: eta zati hori ezin dela murriztu. Bereziki, p eta q biak bakoitiak dira. Karratu dezagun: 2q²=p². p zenbakia ezin da bakoitia izan, ordutik p² ere izango litzateke, eta berdintasunaren ezkerreko aldea 2ren multiploa da. Beraz, p bikoitia da, hau da, p = 2r, beraz, p²= 4r². 2q ekuazioa murrizten dugu²= 4r² 2. q lortzen dugu²= 2r² eta ikusten dugu q ere bikoitia izan behar dela, guk suposatzen genuena ez dela horrela. Ondorioz kontraesanak osatzen du froga - formula hau askotan aurki daiteke matematikako liburu guztietan. Froga zirkunstantzial hau sofisten trikimailu gogokoena da.

Izugarritasun hori ezin zuten pitagorikoek ulertu. Dena zenbaki bidez deskribatu behar da, eta karratu baten diagonalak, edonork makila batekin marraz dezakeen hondarrean, ez du luzerarik, hau da, neurgarria. «Gure fedea alferrikakoa izan zen», esaten omen dute pitagorikoek. Nolatan? Irrazionala da. Batasuna metodo sektarioen bidez bere burua salbatzen saiatu zen. Bere existentzia agerian uzten ausartzen dena zenbaki irrazionalak, heriotzaz zigortu behar zen, eta, antza, lehen zigorra maisuak berak bete zuen.

Baina «pentsamendua kalterik gabe igaro zen». Urrezko aroa heldu da. Greziarrek persiarrak garaitu zituzten (490. maratoia, 479. blokea). Demokrazia indartu zen, pentsamendu filosofikoaren zentro berriak eta eskola berriak sortu ziren. Pitagorikoek oraindik zenbaki irrazionalekin borrokan ari ziren. Batzuek predikatzen zuten: ez dugu misterio hau ulertuko; Uncharted-ekin kontenplatu eta harritu besterik ez dugu egin. Azken hauek pragmatikoagoak ziren eta ez zuten Misterioa errespetatzen. Garai hartan, zenbaki irrazionalak ulertzea ahalbidetzen zuten bi eraikuntza mental agertu ziren. Gaur egun aski ongi ulertzen ditugula Eudoxorena da (K.a. V. mendea), eta XIX. mendearen amaieran bakarrik eman zion Richard Dedekind matematikari alemaniarrak Eudoxoren teoriari garapen egokia eman zion zorrotzaren eskakizunen arabera. logika matematikoa.

Figura edo tortura masa

Zenbakirik gabe bizi al zinateke? Bizitza nolakoa izango balitz ere... Dendara joan beharko ginateke oinetakoak erostera makila batekin, aurretik oinaren luzera neurtzen genuen. "Sagarrak nahiko nituzke, a, hemen dago!" – merkatuan saltzaileak erakutsiko genituzke. "Noraino dago Modlinetik Nowy Dwur Mazowiecki-ra"? "Nahiko gertu!"

Zenbakiak neurtzeko erabiltzen dira. Haien laguntzaz, beste hainbat kontzeptu ere adierazten ditugu. Adibidez, maparen eskalak herrialdeko azalera zenbat murriztu den erakusten du. Bi bat-bateko eskalak, edo besterik gabe 2, zerbaiten tamaina bikoiztu izana adierazten du. Esan dezagun matematikoki: homogeneotasun bakoitzari zenbaki bati dagokio - bere eskala-.

zeregin. Kopia xerografikoa egin dugu, irudia hainbat aldiz handituz. Orduan handitutako zatia berriro b aldiz handitu zen. Zein da handitze-eskala orokorra? Erantzuna: a × b biderkatuz b. Eskala hauek biderkatu egin behar dira. "Minus bat" zenbakia, -1, zentratuta dagoen doitasun bati dagokio, hau da, 180 gradu biratuta. Zein zenbaki dagokio 90 graduko bira bati? Ez dago halako kopururik. Da, da... edo hobeto esanda, laster izango da. Prest al zaude tortura moralerako? Hartu ausardia eta hartu minus baten erro karratua. Entzuten ari naiz? Zer ezin duzu? Azken finean, ausarta izateko esan dizut. Atera ezazu! Aizu, tira, tira... Nik lagunduko dizut... Hona hemen: -1 Orain daukagula, saia gaitezen erabiltzen... Noski, orain zenbaki negatibo guztien erroak atera ditzakegu, zeren. adibidea.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Ekartzen duen larritasuna kontuan hartu gabe". Horixe idatzi zuen Girolamo Cardanok 1539an, loturiko zailtasun mentalak gainditu nahian -laster deitu zen bezala-. irudimenezko kantitateak. Hauek kontuan hartu zituen...

...zeregin. Banatu 10 bi zatitan, zeinaren produktua 40ren berdina. Gogoan dut aurreko pasartetik honelako zerbait idatzi zuela: Zalantzarik gabe, ezinezkoa. Hala ere, egin dezagun hau: zatitu 10 bi zati berdinetan, bakoitza 5 berdina. Biderkatu - 25 atera zen. Ondorioz, 25etik, orain kendu 40, nahi baduzu, eta -15 lortuko duzu. Begira orain: √-15 batu eta 5etik kenduta 40ren biderkadura ematen du. Hauek 5-√-15 eta 5 + √-15 zenbakiak dira. Emaitzaren egiaztapena Cardanok honela egin zuen:

“Ekartzen duen mina edozein dela ere, biderkatu 5 + √-15 5-√-15. 25 - (-15) lortzen dugu, hau da 25 + 15 berdina. Beraz, produktua 40 da .... Benetan zaila da».

Beno, zenbat da: (1 + √-1) (1-√-1)? Biderkatu gaitezen. Gogoratu √-1 × √-1 = -1 dela. Bikaina. Orain lan zailagoa: a + b√-1etik ab√-1era. Zer gertatu da? Zalantzarik gabe, honela: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Zer da interesgarria honetaz? Esaterako, «lehen ezagutzen ez genituen» esamoldeak faktoriza ditzakegula. Biderketaren formula laburtua²-b² Gogoratzen al duzu formula²+b² ez zen izan, ezin zelako izan. Zenbaki errealen domeinuan, polinomioa²+b² saihestezina da. Adierazi dezagun "gure" erro karratua "minus bat" i hizkiarekin.²= -1. Zenbaki lehen "irreala" bat da. Eta hori da hegazkin baten 90 graduko bira bat deskribatzen duena. Zergatik? Azken finean,²= -1, eta 90 graduko biraketa bat eta 180 graduko beste bira bat konbinatuz 45 graduko biraketa ematen du. Zein biraketa mota deskribatzen da? Argi dago XNUMX graduko bira. Zer esan nahi du -i? Apur bat konplikatuagoa da:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Beraz, -i-k 90 graduko biraketa ere deskribatzen du, i-ren biraketaren kontrako noranzkoan. Zein da ezkerrekoa eta zein da eskuinekoa? Hitzordua jarri behar duzu. Suposatzen dugu i zenbakiak biraketa bat zehazten duela matematikariek positibotzat jotzen duten noranzkoan: erlojuaren orratzen noranzkoan. -i zenbakiak erakusleak higitzen ari diren noranzkoan biraketa deskribatzen du.

Baina existitzen al dira i eta -i bezalako zenbakiak? Are! Bizia eman besterik ez dugu egin. Entzuten ari naiz? Gure buruan bakarrik existitzen direla? Beno, zer espero? Gainerako zenbaki guztiak gure buruan bakarrik existitzen dira. Gure jaioberrien kopuruak bizirik dirauten ikusi behar dugu. Zehazkiago, diseinua logikoa den eta zerbaitetarako baliagarriak izango diren. Mesedez, hartu nire hitza dena ondo dagoela eta zenbaki berri hauek benetan lagungarriak direla. 3+i, 5-7i bezalako zenbakiei, oro har: a+bi zenbaki konplexu deitzen zaie. Hegazkina biratuz nola lor ditzakezun erakutsi dizut. Modu ezberdinetan sar daitezke: plano bateko puntu gisa, polinomio batzuen moduan, zenbakizko matrize moduko batean... eta aldi bakoitzean berdinak dira: x ekuazioa² +1=0 ez dago elementurik... hocus pocus dagoeneko hor dago!!!! Poztu gaitezen eta poztu gaitezen!!!

Biraren amaiera

Honekin amaitzen da gure lehen bira faltsuen zenbakien herrialdean. Lurreko beste zenbakietatik, aurretik zifra kopuru infinitua dutenak ere aipatuko ditut, eta ez atzean (10-adikoak deitzen dira, guretzat p-adikoak garrantzitsuagoak dira, non p zenbaki lehena den), izan ere. adibidea X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Konta dezagun X mesedez². Zeren? Zer gertatzen da zenbaki baten karratua eta ondoren zifra kopuru infinitua kalkulatzen badugu? Tira, egin dezagun gauza bera. Badakigu x² = X.

Aurki dezagun ekuazioa betetzen duen zifra-kopuru infinitua aurrean duen halako beste zenbaki bat. Aholkua: seiz bukatzen den zenbaki baten karratua ere seiz amaitzen da. 76z amaitzen den zenbaki baten karratua ere 76z amaitzen da. 376z amaitzen den zenbaki baten karratua ere 376z amaitzen da. 9376z amaitzen den zenbaki baten karratua ere 9376z amaitzen da. XNUMX egunean… Hain txikiak diren zenbakiak ere badaude, positiboak izanik, beste edozein zenbaki positibo baino txikiagoak izaten jarraitzen dutela. Hain txiki-txikiak dira, non batzuetan nahikoa da koadratzea zero lortzeko. Badaude a × b = b × a baldintza betetzen ez duten zenbakiak. Zenbaki infinituak ere badaude. Zenbat zenbaki natural daude? Infinitu asko? Bai, baina zenbat? Nola adieraz daiteke hori zenbaki gisa? Erantzuna: zenbaki infinituetatik txikiena; letra eder batez markatuta dago: A eta A zero indizearekin osatua₀ , aleph-zero.

Badakigu existitzen ez dakigun zenbakiak ere badaude... edo nahi duzun bezala sinetsi edo ez sinetsi ditzakezunak. Eta horrelakoez hitz egitean: Espero dut oraindik Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers gustatzea.