alderantzizko xarma

Asko hitz egiten da “kontrakoen xarma”z, eta ez soilik matematikan. Gogoan izan kontrako zenbakiak zeinuan bakarrik desberdintzen direnak direla: gehi 7 eta ken 7. Kontrako zenbakien batura zero da. Baina guretzat (hau da, matematikarientzat) elkarrekikoak interesgarriagoak dira. Zenbakien biderkadura 1ekoa bada, orduan zenbaki hauek elkarren alderantzizkoak dira. Zenbaki bakoitzak bere aurkakoa du, zero ez den zenbaki bakoitzak bere alderantzizkoa. Elkarrekiko elkarrekikoa hazia da.

Inbertsioa bi kantitate elkarren artean erlazionatzen diren guztietan gertatzen da, beraz, bata handitzen bada, bestea dagokion erritmoan txikitzen da. "Garrantzitsua" esan nahi du kantitate horien produktua ez dela aldatzen. Eskolatik gogoratzen dugu: alderantzizko proportzioa da. Nire helmugara bi aldiz azkarrago iritsi nahi badut (hau da, denbora erdira murriztu), abiadura bikoiztu behar dut. Gasarekin itxitako ontzi baten bolumena n aldiz murrizten bada, bere presioa n aldiz handituko da.

Lehen hezkuntzan arreta handiz bereizten ditugu konparazio diferentzialak eta erlatiboak. "Zenbat gehiago"? – “Zenbat aldiz gehiago?”

Hona hemen eskolako jarduera batzuk:

1. ataza. Bi balio positiboetatik, lehenengoa bigarrena baino 5 aldiz handiagoa da eta, aldi berean, lehena baino 5 aldiz handiagoa. Zeintzuk dira neurriak?

2. ataza. Zenbaki bat bigarrena baino 3 handiagoa bada eta bigarrena hirugarrena baino 2 handiagoa bada, zenbat handiagoa da lehenengo zenbakia hirugarrena baino? Lehenengo zenbaki positiboa bigarrenaren bikoitza bada, eta lehenengo zenbakia hirugarrena hiru aldiz, zenbat aldiz handiagoa da lehenengo zenbakia hirugarrena baino?

3. ataza. 2. atazan, zenbaki naturalak bakarrik onartzen dira. Posible al da bertan azaltzen den antolamendu hori?

4. ataza. Bi balio positiboetatik, lehenengoa 5 aldiz bigarrena da, eta bigarrena 5 aldiz lehena. Posible al da?

"Batezbestekoa" edo "batez bestekoa" kontzeptuak oso sinplea dirudi. Astelehenean 55 km, asteartean 45 km eta asteazkenean 80 km egiten banitu, batez beste egunean 60 km egin nituen bizikletan. Bihotz ados gaude kalkulu hauekin, nahiz eta pixka bat arraroak izan, ez dudalako egun batean 60 km egin. Pertsona baten akzioak bezain erraz onartzen ditugu: berrehun lagunek jatetxe bat bisitatzen badute sei egunetan, eguneko batez besteko tarifa 33 eta hirugarren pertsona da. HM!

Batez besteko tamainarekin soilik daude arazoak. Txirrindularitza gustatzen zait. Beraz, "Goazen gurekin" bidaia agentziaren eskaintza aprobetxatu nuen: hotelera eramaten dute ekipajea, non bezeroa bizikletan ibiltzen baita aisialdirako. Ostiralean lau orduz ibili nintzen: lehenengo biak orduko 24 km-ko abiaduran. Orduan hain nekatu nintzen hurrengo bietan orduko 16 baino ez. Zein izan zen nire batez besteko abiadura? Jakina (24+16)/2=20km=20km/h.

Larunbatean, ordea, hotelean utzi zuten ekipajea, eta 24 km-ra dagoen gazteluaren hondakinak ikustera joan nintzen eta haiek ikusita, itzuli nintzen. Ordubete gidatu nuen norabide bakarrean, mantsoago itzuli nintzen, orduko 16 km-ko abiaduran. Zein izan zen nire batez besteko abiadura hotel-gaztelu-hotel ibilbidean? 20 km orduko? Noski ezetz. Azken finean, guztira 48 km egin nituen eta ordubete (“han”) eta ordu eta erdi itzuli nintzen. 48 km bi ordu eta erditan, hau da. ordu 48/2,5=192/10=19,2 km! Egoera honetan, batez besteko abiadura ez da batez besteko aritmetikoa, emandako balioen harmonikoa baizik:

eta bi istorioko formula hau honela irakur daiteke: zenbaki positiboen batez besteko harmonikoa haien elkarrekikoaren batez besteko aritmetikoaren elkarrekikoa da. Alderantzizkoen baturaren elkarrekikoa eskola-zereginen koru askotan agertzen da: langile batek orduak zulatzen baditu, besteak -b ordu, orduan, elkarrekin lanean, garaiz zulatzen dute. ur-igerilekua (bat orduko, bestea b ordutan). Erresistentzia batek R1 badu eta besteak R2 badu, erresistentzia paraleloa dute. 

Ordenagailu batek segundotan arazo bat ebatzi badu, beste ordenagailu batek b segundotan, elkarrekin lan egiten dutenean...

Gelditu! Hor amaitzen da analogia, dena sarearen abiaduraren araberakoa baita: konexioen eraginkortasuna. Langileek ere elkarri oztopatu edo lagundu dezakete. Gizon batek zortzi ordutan putzu bat zula badezake, laurogei langilek egin al dezakete orduko 1/10ean (edo 6 minututan)? Sei atezainek pianoa lehen solairura eramaten badute 6 minututan, zenbat denbora beharko du horietako batek pianoa hirurogeigarren solairura entregatzeko? Problemen zentzugabekeriak matematika guztiek "bizitzatik" arazoetarako duten aplikagarritasun mugatua ekartzen du gogora.

Saltzaile indartsu bati buruz 

Balantza jada ez da erabiltzen. Gogoratu halako balantza katilu batean pisu bat jartzen zela, eta pisatzen ari ziren salgaiak bestean jartzen zirela, eta pisua orekan zegoenean, orduan salgaiak pisua bezainbeste pisatzen zuela. Noski, pisu-kargaren bi besoek luzera berdina izan behar dute, bestela pisaketa okerra izango da.

Ai bai. Imajinatu palanka desberdina duen pisua duen saltzaile bat. Hala ere, bezeroekin zintzoa izan nahi du eta salgaiak bi sortetan pisatzen ditu. Lehenik eta behin, zartagin batean pisu bat jartzen du eta, bestean, dagokion ondasun-kopurua, balantza orekan egon dadin. Ondoren, salgaien bigarren "erdia" pisatzen du alderantzizko ordenan, hau da, pisua bigarren ontzian jartzen du, eta salgaiak lehenengoan. Eskuak ez berdinak direnez, "erdiak" ez dira inoiz berdinak. Eta saltzailearen kontzientzia garbi dago, eta erosleek bere zintzotasuna goraipatzen dute: «Hemen kendu dudana, gero gehitu dut».

Dena den, ikus ditzagun pisu prekarioa izan arren zintzoa izan nahi duen saltzaile baten jokabidea. Izan bedi balantzaren besoek a eta b luzerak. Ontzietako bat kilogramoko pisuarekin eta bestea x ondasunekin kargatuta badago, balantza orekan egongo da lehenengo aldiz ax = b eta bigarren aldiz bx = a bada. Beraz, salgaien lehen zatia b / a kilogramoaren berdina da, bigarren zatia a / b da. Pisu onak a = b du, beraz erosleak 2 kg salgai jasoko ditu. Ikus dezagun zer gertatzen den a ≠ b denean. Orduan a – b ≠ 0 eta biderketa murriztuaren formulatik dugu

Ezusteko emaitza batera iritsi ginen: kasu honetan neurketa "batez bestekoa" egiteko modu bidezkoa dirudien eroslearen onurarako balio du, ondasun gehiago jasotzen baititu.

5. zeregina. (Garrantzitsua, inola ere matematikan!). Eltxo batek 2,5 miligramo pisatzen ditu, eta elefante batek bost tona (datu nahiko zuzena da). Kalkulatu eltxoen eta elefanteen masen (pisuen) batez besteko aritmetikoa, geometrikoa eta batez besteko harmonikoa. Egiaztatu kalkuluak eta ikusi aritmetika ariketaz gain zentzurik duten. Ikus ditzagun “bizitza errealean” zentzurik ez duten kalkulu matematikoen beste adibide batzuk. Aholkua: artikulu honetan adibide bat ikusi dugu dagoeneko. Horrek esan nahi al du Interneten aurkitu dudan iritzia zuzena zela ikasle anonimo batek: “Matematikak engainatzen ditu jendea zenbakiekin”?

Bai, ados nago matematikaren handitasunean jendea "engainatu" dezakezula - xanpuaren bigarren iragarki bakoitzak dioenez, ehuneko pixka bat handitzen du. Bilatuko al ditugu jarduera kriminaletarako erabil daitezkeen eguneroko tresna baliagarrien beste adibide batzuk?

Gramoak!

Pasarte honen izenburua aditza (pluraleko lehen pertsona) da, ez izena (kiloko milarenaren plural nominatiboa). Harmoniak ordena eta musika dakar. Antzinako greziarrentzat, musika zientziaren adar bat zen -onartu beharra dago, esaten badugu, "zientzia" hitzaren gaur egungo esanahia gure aro aurreko garaira eramaten dugula. K.a. XNUMX. mendean bizi izan zen Pitagoras, ordenagailua, telefono mugikorra eta posta elektronikoa ez ezik, ez zekien nor ziren Robert Lewandowski, Mieszko I, Karlomagno eta Zizeron. Ez zekien ez arabiar eta ezta erromatar zenbakirik ere (K.a. V. mende inguruan hasi ziren erabiltzen), ez zekien zer ziren Gerra Punikoak... Baina musika bazekien...

Bazekien hari-tresnetan bibrazio-koefizienteak soken bibrazio zatien luzerarekiko alderantziz proportzionalak zirela. Bazekien, bazekien, ezin zuela adierazi gaur egun egiten dugun moduan.

Zortaba bat osatzen duten bi harien bibrazioen maiztasunak 1:2 proportzioan daude, hau da, nota altuaren maiztasuna behekoaren bikoitza da. Bosgarrenaren bibrazio erlazio zuzena 2:3 da, laugarrena 3:4, hirugarren nagusi hutsa 4:5, hirugarren txikia 5:6. Kontsonante-tarte atseginak dira hauek. Ondoren, bi neutro daude, 6:7 eta 7:8ko bibrazio-ratioak, gero disonanteak - tonu handia (8:9), tonu txikia (9:10). Zatiki (erlazio) hauek matematikariek (horregatik) serie harmonikoa deitzen duten segida baten ondoz ondoko kideen ratioak bezalakoak dira:

batuketa teorikoki infinitua da. Zortziaren oszilazioen ratioa 2:4 gisa idatz daiteke eta haien artean bosgarren bat jarri: 2:3:4, hau da, zortzidun bosgarren eta laugarren batean banatuko dugu. Segmentu harmonikoaren zatiketa esaten zaio matematikan:

Arroza. 1. Musikari batentzat: AB zortziduneko AC bosgarrenean zatitzea.Matematikariarentzat: Segmentazio Harmonikoa

Zer esan nahi dut (goian) teorikoki infinitua den baturaz hitz egiten dudanean, hala nola serie harmonikoaz? Ematen du batura hori edozein kopuru handia izan daitekeela, gauza nagusia denbora luzez gehitzen dugula da. Gero eta osagai gutxiago daude, baina gero eta gehiago daude. Zer da nagusi? Hemen analisi matematikoaren eremuan sartzen gara. Ematen du osagaiak agortzen direla, baina ez oso azkar. Erakutsiko dut osagai nahikoa hartuz laburbildu dezakedala:

arbitrarioki handiak. Har dezagun "adibidez" n = 1024. Talde ditzagun hitzak irudian agertzen den moduan:

Parentesi bakoitzean, hitz bakoitza aurrekoa baino handiagoa da, azkena, noski, bere buruaren berdina izan ezik. Hurrengo parentesietan, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 eta 512 osagai ditugu; parentesi bakoitzeko baturaren balioa ½ baino handiagoa da. Hau guztia 5½ baino gehiago da. Kalkulu zehatzagoak zenbateko hori gutxi gorabehera 7,50918 dela erakutsiko luke. Ez asko, baina beti, eta ikusten duzu n edozein handi hartuz, edozein zenbaki gainditzen dudala. Izugarri motela (adibidez, osagaiekin soilik hamarren artean gaude), baina hazkunde infinituak beti liluratu ditu matematikariak.

Bidaia infinitura serie harmonikoarekin

Hona hemen matematika nahiko serio batzuen puzzle bat. Bloke angeluzuzenen eskaintza mugagabea dugu (zer esan dezaket, angeluzuzena!) neurriak dituztenak, esate baterako, 4 × 2 × 1. Demagun hainbatek osatutako sistema bat (on irud. 2 - lau) bloke, lehenengoa bere luzeraren erdia inklinatu dezan, bigarrena goitik ¼ eta abar, hirugarrena seiren bat. Tira, agian benetan egonkorra izan dadin, oker dezagun lehen adreilua pixka bat gutxiago. Ez du axola kalkuluetarako.

Arroza. 2. Grabitate-zentroa zehaztea

Era berean, erraza da ulertzea lehenengo bi blokeek (goitik zenbatuta) osatutako irudiak B puntuan simetria-zentroa duela, B grabitate-zentroa dela. Definitu dezagun geometrikoki sistemaren grabitate-zentroa, goiko hiru blokez osatua. Argudio oso sinplea nahikoa da hemen. Bana dezagun mentalki hiru blokeko konposizioa goiko bitan eta hirugarren beheko batean. Zentro hori bi zatien grabitate-zentroak lotzen dituen sekzioan egon behar du. Atal honen zein puntutan?

Izendatzeko bi modu daude. Lehenengoan, zentro hori hiru blokeko piramidearen erdian egon behar dela dioen behaketa erabiliko dugu, hau da, bigarren, erdiko blokea ebakitzen duen lerro zuzen batean. Bigarren eran, ulertzen dugu goiko bi blokeek #3 bloke bakar baten (goian) bikoitza duten masa osoa dutenez, atal honetako grabitate-zentroak B-tik zentrotik bi aldiz hurbilago egon behar duela. Hirugarren blokeko S. Era berean, hurrengo puntua aurkituko dugu: hiru blokeen aurkitutako zentroa laugarren blokearen S zentroarekin lotzen dugu. Sistema osoaren erdigunea 2 altueran eta segmentua 1etik 3ra banatzen duen puntuan dago (hau da, bere luzeraren ¾ekin).

Apur bat aurrerago egingo ditugun kalkuluek irudian ageri den emaitzara eramaten dute. 3. irudia. Beheko blokearen eskuineko ertzetik ondoz ondoko grabitate-zentroak kentzen dira:

Beraz, piramidearen grabitate-zentroaren proiekzioa oinarriaren barruan dago beti. Dorrea ez da eroriko. Orain ikus ditzagun irud. 3 eta une batez, goitik datorren bosgarren blokea erabil dezagun oinarri gisa (kolore biziagoarekin markatutakoa). Goiko inklinazioa:

horrela, bere ezkerreko ertza oinarriaren eskuineko ertza baino 1 urrunago dago. Hona hemen hurrengo swinga:

Zein da swing handiena? Dagoeneko badakigu! Ez dago handiena! Bloke txikienak ere hartuz, kilometro bateko irtengune bat lor dezakezu - tamalez, matematikoki bakarrik: Lurra osoa ez litzateke nahikoa hainbeste bloke eraikitzeko!

Arroza. 3. Gehitu bloke gehiago

Orain goian utzi ditugun kalkuluak. Distantzia guztiak "horizontalki" kalkulatuko ditugu x ardatzean, horixe baita. A puntua (lehen blokearen grabitate zentroa) eskuineko ertzetik 1/2ra dago. B puntua (bi bloke-sistemaren erdigunea) bigarren blokearen eskuineko ertzetik 1/4ra dago. Abiapuntua izan bedi bigarren blokearen amaiera (orain hirugarrenera pasatuko gara). Adibidez, non dago #3 bloke bakarreko grabitate-zentroa? Bloke honen luzera erdia, beraz, gure erreferentzia-puntutik 1/2 + 1/4 = 3/4 da. Non dago C puntua? 3/4 eta 1/4 arteko segmentuaren bi herenetan, hau da, aurreko puntuan, erreferentzia-puntua hirugarren blokearen eskuineko ertzera aldatzen dugu. Hiru blokeko sistemaren grabitate-zentroa erreferentzia-puntu berritik kentzen da orain, eta abar. Grabitate zentroa C_n n blokez osatutako dorre bat berehalako erreferentzia-puntutik 1/2n-ra dago, hau da, oinarrizko blokearen eskuineko ertza, hau da, goialdetik ngarren blokea.

Elkarrekiko serieak alde egiten duenez, edozein aldakuntza handi lor dezakegu. Hau benetan gauzatu al daiteke? Adreiluzko dorre amaigabe bat bezalakoa da - goiz edo beranduago bere pisuaren pean eroriko da. Gure eskeman, blokeak kokatzeko gutxieneko zehaztasunik ezak (eta seriearen batuketa partzialen hazkunde motelak) esan nahi du ez garela oso urrutira iritsiko.