Zergatik ez dugu zeroz zatitzen?

Irakurleek galdetuko diote zergatik eskaintzen diodan artikulu oso bat hain gai hutsal bati? Arrazoia izenaren azpian eragiketa kasualitatez egiten duten ikasle kopuru ikaragarria da (!). Eta ez ikasleak bakarrik. Batzuetan harrapatzen ditut eta irakasleak. Zer egiteko gai izango dira horrelako irakasleen ikasleek matematikan? Testu hau idazteko berehalako arrazoia zeroz zatiketa arazorik ez zen irakasle batekin elkarrizketa bat izan zen...

Zeroarekin, bai, ezeren traba izan ezik, ez baitugu benetan eguneroko bizitzan erabili behar. Ez gara zero arrautza erostera joaten. "Pertsona bat dago gelan" soinua nolabait naturala da, eta "zero pertsona" artifiziala. Hizkuntzalariek diote zero hizkuntza sistematik kanpo dagoela.

Zerorik gabe egin dezakegu banku-kontuetan ere: erabili - termometro batean bezala - gorria eta urdina balio positibo eta negatiboetarako (kontuan izan tenperaturarako naturala dela zenbaki positiboetarako gorria erabiltzea eta banku-kontuetarako. alderantziz da, zordunketak abisua eragin behar duelako, beraz gorria oso gomendagarria da).

Zero zenbaki natural gisa sartuz, diferentziazioaren arazoa ukitzen dugu Zenbaki kardinalak od etxekoa. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. barruan

zenbakiaren potentzia dagoen tokiaren zenbakiaren berdina da. Bestela, dagoeneko 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, .. . sekuentzian dago.

Singleton multzoen kopurua bigarrena da, bi elementu dituzten multzo kopurua hirugarrena, eta abar. Azaldu behar dugu zergatik, adibidez, ez ditugun atleten postuak hutsetik zenbatzen lehiaketetan. Orduan, lehen sailkatuak zilarrezko domina jasoko zuen (urrea zero postuaren irabazlearentzat izan zen), eta abar.Futbolean antzeko prozedura bat erabiltzen zen -ez dakit irakurleek badakiten "liga bat" esan nahi duela " onenari jarraituz". ", eta zero liga "liga nagusi" bihurtzeko deia dago.

Batzuetan hutsetik hasi behar dugulako argudioa entzuten dugu, informatikarako erosoa delako. Gogoeta hauekin jarraituz, kilometro baten definizioa aldatu beharko litzateke - 1024 m-koa izan behar du, hau da kilobyte bateko byte kopurua delako (informatikalariek ezagutzen duten txantxa bati erreferentzia egingo diot: "Zein da lehen ikaslearen eta lehengoaren arteko aldea? informatikako ikasle bat eta fakultate honetako bosgarren mailako ikasle bat? kilobyte bat 1000 kilobyte dela, azkena - kilometro bat 1024 metro direla")!

Dagoeneko serio hartu beharreko beste ikuspuntu bat hau da: beti hutsetik neurtzen dugu! Nahikoa da edozein eskala begiratzea erregelan, etxeko balantzan, baita erlojuan ere. Zerotik neurtzen dugunez, eta kontatzea dimentsiorik gabeko unitate baten neurketa gisa uler daitekeenez, orduan zerotik zenbatu beharko genuke.

Gauza sinplea da, baina...

Utz ditzagun arrazoibide orokorra eta itzul gaitezen zero bidezko zatiketara. Kontua sinplea da eta erraza izango litzateke ez balitz... zer? Pentsatu eta saiatu gaitezen. Zenbat izan daiteke - bat zeroz zatituta? Ikus dezagun: 1/0 = x. Biderkatu bi aldeak ezkerreko aldearen izendatzailearekin.

1=0 lortzen dugu. Zerbait gaizki dago! Zer gertatu da? Ah, asmatu! Batasunaren eta zeroaren zatidura bat dagoela suposatzeak kontraesana dakar. Eta bat ezin bada zeroz zatitu, beste zenbaki batek egin dezake. Bada, Irakurle, sorbaldak altxatu eta egileak (hau da, nik) halako txorikeriaz zergatik idazten duen galdetzen baduzu, orduan... Pozten naiz!

0/0 = 0 formula gogor defendatu liteke, baina kontraesanean dago zenbaki bat berez zatitzearen emaitza bataren berdina dela dioen arauarekin. Erabat, baina guztiz desberdinak dira kalkuluan 0/0, °/° eta antzeko sinboloak. Ez dute inolako zenbakirik esan nahi, mota jakin batzuen segida jakin batzuen izendapen sinbolikoak baizik.

Ingeniaritza elektrikoko liburu batean, konparazio interesgarri bat aurkitu nuen: zeroz zatitzea tentsio handiko elektrizitatea bezain arriskutsua da. Hau normala da: Ohm-en legeak dio tentsioaren eta erresistentziaren arteko erlazioa korrontearen berdina dela: V = U / R. Erresistentzia nulua balitz, teorikoki infinitua den korronte bat igaroko litzateke eroalean zehar, eroale posible guztiak errez.

Asteko egun guztietan zeroz zatitzearen arriskuei buruzko poema bat idatzi nuen behin. Gogoan dut egunik dramatikoena osteguna izan zela, baina pena ematen du arlo honetan egin dudan lan guztiagatik.

Zerbait zeroz zatitzen duzunean

Astelehen oso goiz

Astean gertatu berri dena

Dagoeneko huts izugarria egin duzu.

Noiz astearte arratsaldean

Zero jarri duzu izendatzailean

Esango dizut orduan oker zaudela

Matematikari txarra!

Zeroaren bidez, perbertsioaren bidez,

Asteazkenean banatu nahi dut

Arazo asko izango dituzu

Belarra eta ura dituzu buruan!

Bartek jakin bat gurekin zegoen.

Arauekin kontraesanean zegoen.

Ostegunean, zeroz zatigarria da.

Jada ez dago gure artean!

Desio arraro batek bereganatzen bazaitu

Zatitu zeroz ostiralean

Zintzoa izango naiz, zintzoa izango naiz:

Asteburu honen hasiera txarra.

Zero dagoenean, nonbait larunbatean

Banatzailea zurea izango da (ez lodia)

Belaunikatu elizako hesiaren azpian.

Hau da zure piztuera.

Zero nahi al duzu marratxoaren azpian,

Igandean jaiegun bat egin

Ekarri klariona, arbel beltza.

Idatzi: ez da zeroz zatigarria!

Zero hutsarekin eta ezerezarekin lotzen da. Izan ere, matematikara iritsi zen, edozein bati gehituz gero, aldatzen ez duen kantitate gisa: x + 0 = x. Baina orain zero beste hainbat baliotan agertzen da, batez ere eskala hasiera. Leihotik kanpo ez badago ez tenperatura positiborik ez izozterik, orduan ... hau zero da, eta horrek ez du esan nahi tenperaturarik ez dagoenik. Zero klaseko monumentua ez da denbora luzez eraitsi dena eta besterik gabe existitzen ez dena. Aitzitik, Wawel, Eiffel Dorrea eta Askatasunaren Estatua bezalako zerbait da.

Bada, posizio-sistema batean zeroaren garrantzia nekez gainbaloratu daiteke. Ba al dakizu, Irakurle, zenbat zero ditu Bill Gatesek bankuko kontuan? Ez dakit, baina erdia nahiko nuke. Dirudienez, Napoleon Bonaparte ohartu zen pertsonak zeroak bezalakoak direla: posizioaren bidez hartzen dute zentzua. Andrzej Wajdaren As the Years, As the Days Pass lanean, Jerzy artista sutsuak lehertzen du: «Philister zero da, nihil, ezer, ezer, nihil, zero». Baina zero ona izan daiteke: "zero desbideratzea arautik" esan nahi du dena ondo doala, eta jarraitu horrela!

Itzuli gaitezen matematiketara. Zero batu, kendu eta biderkatu daiteke inpunitatez. "Zero kilogramo irabazi nuen", esan zion Manyak Anyari. "Eta hau interesgarria da, pisu bera galdu nuelako", erantzun du Anyak. Beraz, jan ditzagun sei zero izozki anoa sei aldiz, ez digu minik egingo.

Ezin dugu zeroz zatitu, baina zeroz zati dezakegu. Zero dumpling plater bat erraz banatu diezaieke janariaren zain daudenei. Zenbat lortuko du bakoitzak?

Zero ez da positiboa edo negatiboa. Hau eta zenbakia ez positiboaи ez-negatiboa. x≥0 eta x≤0 desberdintasunak betetzen ditu. "Zerbait positiboa" kontraesana ez da "zerbait negatiboa", "zerbait negatiboa edo zero berdina" baizik. Matematikariek, hizkuntzaren arauen aurka, beti esango dute zerbait "zeroaren berdina" dela eta ez "zero". Praktika hau justifikatzeko, honako hau dugu: x = 0 "x zeroren berdina da" formula irakurtzen badugu x = 1 "x baten berdina" irakurriko dugu, eta hori irentsi daiteke, baina zer gertatzen da "x = 1534267" ? Ezin diozu zenbakizko baliorik esleitu 0 karaktereari⁰ezta zero potentzia negatibo batera igo. Bestalde, nahierara zero erro dezakezu... eta emaitza beti zero izango da. 

Funtzio esponentziala y = a^x, a-ren oinarri positiboa, ez da inoiz zero bihurtzen. Zero logaritmorik ez dagoela ondorioztatzen da. Izan ere, a-ren logaritmoa b oinarrirako oinarria altxatu behar den berretzailea da a-ren logaritmoa lortzeko. a = 0-rako, ez dago halako adierazlerik, eta zero ezin da izan logaritmoaren oinarria. Hala ere, Newton-en sinboloaren "izendatzailea"ko zeroa beste zerbait da. Konbentzio hauek ez dutela kontraesan bat sortzen suposatzen dugu.

froga faltsuak

Zero bidezko zatiketa froga faltsuetarako ohiko gaia da, eta matematikari esperientziadunei ere gertatzen zaie. Ematen dizkizut nire bi adibide gogokoenak. Lehenengoa aljebraikoa da. Zenbaki guztiak berdinak direla "frogatuko" dut. Demagun berdinak ez diren bi zenbaki daudela. Beraz, horietako bat bestea baino handiagoa da, bedi a > b. Demagun c haien aldea dela

c \uXNUMXd a - b. Beraz, a - b = c dugu, non a = b + c.

Azken honen bi zatiak a - b bidez biderkatzen ditugu:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Ak itzultzen dut ezkerreko aldean, zeinua aldatzeaz gogoratzen naiz noski:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Faktore komunak baztertzen ditut:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Partekatzen dut eta nahi nuena daukat:

a = b.

Eta, egia esan, are arraroa, a > b dela suposatu nuelako eta a = b hori lortu dudalako.Goiko adibidean "iruzur" erraza da ezagutzen, orduan beheko froga geometrikoan ez da hain erraza. Frogatuko dut... trapezioa ez dela existitzen. Normalean trapezio deritzon figura ez da existitzen.

Baina demagun lehenik trapezio bat dagoela (beheko irudian ABCD). Bi alde paralelo ditu ("oinarriak"). Luza ditzagun oinarri hauek, irudian ikusten den moduan, paralelogramo bat lortu dezagun. Bere diagonalek trapezioaren beste diagonala x, y, z adierazten duten segmentuetan banatzen dute. irudia 1. Dagozkion triangeluen antzekotasunetik, proportzioak lortuko ditugu:

non definitzen dugu:

Oraz

non definitzen dugu:

Kendu izartxoz markatutako berdintasunaren aldeak:

 Bi aldeak x − z laburtuz, – a/b = 1 lortzen dugu, hau da, a + b = 0. Baina a, b zenbakiak trapezioaren oinarrien luzerak dira. Haien batura zero bada, orduan ere zero dira. Horrek esan nahi du trapezio bat bezalako figura bat ezin dela existitu! Eta laukizuzenak, erronboak eta karratuak ere trapezio direnez gero, irakurle maitea, ez dago erronbo, laukizuzen eta karraturik ere...

Asmatu Asmatu

Informazioa partekatzea da oinarrizko lau jardueren artean interesgarriena eta erronkarik handiena. Hemen, lehen aldiz, helduaroan hain ohikoa den fenomeno batekin egiten dugu topo: «asmatu erantzuna, eta gero egiaztatu ondo asmatu duzun». Hori oso egoki adierazi du Daniel K. Dennett-ek (“How to Make Mistakes?”, How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varsovia, 1997):

"Asmatzeko" metodo honek ez du gure helduen bizitza oztopatzen, agian goiz ikasten dugulako eta asmatzea zaila ez delako. Ideologikoki, fenomeno bera gertatzen da, adibidez, indukzio matematikoan (osoan). Leku berean, formula "asmatzen" dugu eta, ondoren, gure asmakizuna zuzena den egiaztatzen dugu. Ikasleek beti galdetzen dute: “Nola ezagutu genuen eredua? Nola atera daiteke?" Ikasleek galdera hau egiten didatenean, haien galdera txantxa bihurtzen dut: «Nik hau profesional bat naizelako badakit, ordaintzen dudalako jakiteko». Eskolako ikasleei estilo berean erantzun diezaiekete, serioago bakarrik.

Ariketa. Kontuan izan batuketa eta biderketa idatzia unitate baxuenarekin hasten garela eta zatiketa unitate handienarekin.

Bi ideien konbinazioa

Matematikako irakasleek beti adierazi izan dute helduen bereizketa deitzen duguna kontzeptualki desberdinak diren bi ideiaren batasuna dela: etxebizitzak i bereizketa.

Lehenengoa (etxebizitzak) arketipoa den zereginetan gertatzen da:

Zatitu-banatu Hauek dira zereginak:

? (Arazo honen jatorrizko estiloa mantentzen dugu, Julian Zgozalewicz-ek 1892an Krakovian argitaratutako eskuliburutik hartua - złoty rrenish zloty da, Austro-Hungariako Inperioan XNUMX. mendearen hasierara arte zirkulazioan egon zen moneta).

Orain kontuan hartu bi arazorekin polonierazko matematikako testuliburu zaharrena, aita Tomasz Clos (1538). Dibisio bat ala coupe bat da? Ebatzi XNUMX. mendeko eskola-umeek beharko luketen moduan:

(Polonieratik polonierarako itzulpena: kupel bat eta lau poto daude. Pot bat lau litro dira. Norbaitek 20 upel ardo erosi zituen merkataritzarako 50 złren truke. Zerga eta zerga (zerga berezia?) 8 zł izango dira. Zenbat laurden bat saldu 8 zł irabazteko?)

Kirolak, fisika, kongruentzia

Batzuetan kiroletan zerbait zeroz zatitu behar da (goal ratioa). Tira, epaileek nolabait aurre egiten diote. Hala ere, aljebra abstraktuan agendan daude. zero ez diren kantitateakbere karratua zero den. Nahiz eta sinpleki azaldu daiteke.

Demagun puntu bat (y, 0) planoko puntu batekin (x, y) lotzen duen F funtzio bat. Zer da F², hau da, F-ren exekuzio bikoitza? Zero funtzioa - puntu bakoitzak irudi bat du (0,0).

Azkenik, 0 karratua duten kantitate ez-zeroak ia eguneroko ogia dira fisikarientzat, eta a + bε formako zenbakiak, non ε ≠ 0, baina ε.² = 0, matematikariek deitzen dute zenbaki bikoitzak. Analisi matematikoan eta geometria diferentzialean gertatzen dira.

Azken finean, bada aritmetikan gutxienez izenan zeroz zatiketa duen zerbait. Bertatik dator koherentzia. Adieraz bedi Z zenbaki osoen multzoa. Z multzoa p-z zatitzeak esan nahi du zenbaki bakoitza (zenbaki osoa) beste batzuekin berdintzen dugula, hots, haien aldea zatigarria denekin. Beraz, 0, 1, 2, 3, 4 zenbakiei dagozkien bost zenbaki mota ditugunean, hondarrak posibleak 5ez zatitzean. Formula honela idazten da:

mod aldea multiploa denean.

= 2rentzat, bi zenbaki baino ez ditugu: 0 eta 1. Zenbaki osoak halako bi klasetan banatzea bikoitietan eta bakoitietan banatzearen baliokidea da. Ordezka dezagun orain. Aldea 1ez zatigarria da beti (edozein zenbaki oso 1ez zatigarria da). Posible al da =0 hartzea? Saia gaitezen: noiz da bi zenbakiren aldea zeroren multiploa? Bi zenbaki hauek berdinak direnean bakarrik. Beraz, zenbaki oso bat zeroz zatitzeak zentzua du, baina ez da interesgarria: ez da ezer gertatzen. Hala ere, azpimarratu behar da hori ez dela zenbakien zatiketa oinarrizko eskolatik ezagutzen den zentzuan.

Halako ekintzak besterik gabe debekatuta daude, baita matematika luzeak eta zabalak ere.

Arroza. 2. Zenbakien identifikazioa konparazioa erabiliz

(5. modua eta 2. modua)