Zifratuak eta espioiak

Gaurko Matematika Txokoan, National Children's Foundation-en urtero haurrentzako Science Camp-en eztabaidatu dudan gai bati begiratuko diot. Fundazioa interes zientifikoak dituzten haur eta gazteen bila dabil. Ez duzu zertan dohain handia izan behar, baina "ildo zientifiko bat" izan behar duzu. Eskolako nota oso onak ez dira eskatzen. Probatu, agian gustatuko zaizu. Lehen Hezkuntzako edo Batxilergoko ikaslea bazara, egin eskaera. Normalean gurasoek edo eskolak egiten dituzte txostenak, baina ez da beti horrela izaten. Aurkitu Fundazioaren webgunea eta ezagutu.

Gero eta gehiago hitz egiten da eskolan “kodetzeaz”, lehen “programazioa” izenez ezagutzen zen jarduerari erreferentzia eginez. Hezitzaile teorikoentzako ohiko prozedura da. Metodo zaharrak lurratzen dituzte, izen berri bat ematen diete eta «progresioak» bere buruaz arduratzen dira. Hainbat eremu daude halako fenomeno zikliko bat gertatzen den.

Didaktika gutxiesten dudala ondoriozta daiteke. Ez. Zibilizazioaren garapenean, batzuetan, zen, abandonatu eta orain berpizten ari den horretara itzultzen gara. Baina gure txokoa matematikoa da, ez filosofikoa.

Komunitate jakin bateko kide izateak “sinbolo komunak”, irakurketa, esaera eta parabola arruntak ere esan nahi du. Poloniako hizkuntza ezin hobeto ikasi zuena «Szczebrzeszyn sastraka handi bat dago, kakalardo bat lezkadietan burrunba da» berehala agertuko da atzerriko estatu baten espioi gisa, okilak zer egiten duen galderari erantzuten ez badio. Noski itogarria da!

Hau ez da txantxa hutsa. 1944ko abenduan, alemaniarrek azken erasoaldia abiatu zuten Ardenetan, gastu handiarekin. Ingelesez ondo hitz egiten zuten soldaduak mobilizatu zituzten tropa aliatuen mugimendua oztopatzeko, bidegurutzeetan norabide okerrean eramanez, adibidez. Harridura une baten ondoren, amerikarrak soldaduei galdera susmagarriak egiten hasi ziren, eta erantzunak agerikoak izango ziren Texas, Nebraska edo Georgiako pertsona bati eta pentsaezina han hazi ez zenari. Errealitateen ezjakintasunak zuzen-zuzenean eraman zuen exekuzioa.

Punturaino. Irakurleei Lukasz Badowski eta Zaslaw Adamashek-en "Laboratory in a Desk Drawer - Matematika" liburua gomendatzen diet. Matematika zerbaitetarako benetan erabilgarria dela eta "matematika-esperimentua" ez dela hitz hutsak ez diren liburu zoragarria da. Besteak beste, "kartoizko enigma"ren eraikuntza deskribatua barne hartzen du -sortzeko hamabost minutu besterik ez gaituen gailu bat eta zifratzeko makina serio baten antzera funtzionatzen duena-. Ideia bera hain ezaguna zen, aipatu egileek ederki landu zuten, eta pixka bat aldatuko dut eta arropa matematikoagoetan bilduko dut.

zerrak

Varsoviako aldirietako nire datxa herriko kaleetako batean, zoladura duela gutxi desmuntatu zuten "trlinka" - lauza hexagonalak. Ibilaldia deserosoa izan zen, baina matematikariaren arima poztu zen. Ez da erraza planoa poligono erregularrekin (hau da, erregularrekin) estaltzea. Triangeluak, karratuak eta hexagono erregularrak soilik izan daitezke.

Agian poz espiritual honekin txantxa pixka bat egin nuen, baina hexagonoa irudi ederra da. Bertatik nahiko arrakastatsua enkriptatzeko gailu bat egin dezakezu. Geometriak lagunduko du. Hexagonoak biraketa-simetria du - 60 graduko multiploz biratzen denean gainjartzen da. Markatutako eremua, adibidez, goiko ezkerrean A hizkiarekin irud. 1 angelu horretatik bira eman ondoren, A koadroan ere eroriko da - eta berdin beste letrekin. Beraz, moztu ditzagun saretatik sei lauki, bakoitza letra ezberdin batekin. Horrela lortutako sareta orri batean jartzen dugu. Doako sei eremuetan, idatzi enkriptatu nahi dugun testuaren sei letra. Biratu dezagun xafla 60 gradu. Sei eremu berri agertuko dira: sartu gure mezuaren hurrengo sei letrak.

Arroza. 1. Matematikaren pozaren trlinkak.

Eskuinera irud. 1 testu bat dugu horrela kodetuta: «Geltokian lurrun-makina astun handia dago».

Orain eskolako matematika txiki bat ondo etorriko da. Zenbat eratara antola daitezke bi zenbaki elkarren artean?

Zein galdera ergela? Birentzat: bata aurrean ala bestea.

Ondo. Eta hiru zenbaki?

Ez da zaila ezarpen guztiak zerrendatzea ere:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

Tira, laurentzat da! Oraindik argi eta garbi idatzi daiteke. Asmatu jarri dudan ordena-araua:

1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,

1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,

2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,

3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321

Zifrak bost direnean, 120 ezarpen posible lortzen ditugu. Dei diezaiegun permutazioak. n zenbakien permutazio posibleen kopurua 1 2 3 ... n produktua da, deitzen dena indartsu eta harridura-puntuaren bidez markatua: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Hurrengo 6 zenbakirako 6 dugu!=720. Hau erabiliko dugu gure zifra-ezkutua hexagonala konplexuagoa izateko.

0tik 5era bitarteko zenbakien permutazioa aukeratzen dugu, adibidez 351042. Gure nahaste-disko hexagonalak marratxo bat du erdiko eremuan, "zero posizioan" jar dadin, marra bat gora, irudian bezala. 1. Diskoa horrela jartzen dugu orri batean eta bertan gure txostena idatzi behar dugu, baina ez dugu berehala idazten, baizik eta hiru aldiz bira eman 60 gradu (hau da, 180 gradu) eta sei hizki sartuko ditugu. eremu hutsak. Hasierako posiziora itzuliko gara. Markagailua bost aldiz bueltatzen dugu 60 gradutan, hau da, gure esferako bost "hortz". Inprimatzen dugu. Hurrengo eskalaren posizioa zero inguruan 60 gradu biratzen den posizioa da. Laugarren posizioa 0 gradukoa da, hau da hasierako posizioa.

Ulertzen al duzu zer gertatu den? Aukera gehigarri bat dugu: gure "makina" zazpiehun aldiz baino gehiago zailtzeko! Beraz, "automataren" bi posizio independente ditugu: sarearen aukeraketa eta permutazioaren aukeraketa. Sarea 66 = 46656 modutan aukeratu daiteke, permutazioa 720. Honek 33592320 aukera ematen ditu. 33 milioi zifra baino gehiago! Ia apur bat gutxiago, zeren sareta batzuk ezin dira paperetik moztu.

Beheko partean irud. 1 honela kodetuta dagoen mezu bat dugu: "Lau jausgailu zati bidaltzen dizkizut". Erraza da ulertzea etsaiari ez zaiola honen berri izan behar. Baina ulertuko al du horrelakorik:

ТПОРОПВМАНВЕОРДИЗЗ

YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYA

nahiz eta 351042 sinadurarekin?

Enigma eraikitzen ari gara, zifratzeko makina alemaniarra

Arroza. 2. Gure zifratze-makinaren hasierako konfigurazioaren adibide bat.

Permutazioak (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).

Lehen aipatu dudan bezala, "Lab in a Drawer - Matematika" liburuari zor diot halako kartoizko makina bat sortzeko ideia. Nire “eraikuntza” bere egileek emandakoarekin zertxobait ezberdina da.

Gerra garaian alemaniarrek erabilitako zifratze-makinak zentzuzko printzipio sinplea zuen, zifra hexadegikoarekin ikusi genuenaren antzeko samarra. Aldi bakoitzean gauza bera: gutun baten esleipen gogorra hautsi beste gutun bati. Ordezkagarria izan behar du. Nola egin haren kontrola izateko?

Aukera dezagun ez edozein permutazio, 2. luzerako zikloak dituena baizik. Besterik gabe, duela hilabete batzuk hemen azaldutako "Gaderipoluk" bezalako zerbait, baina alfabetoko letra guztiak biltzen dituena. Ados ditzagun 24 hizkitan - ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, q gabe. Zenbat halako permutazio? Batxilergoko tituludunen zeregina da (berehala konpontzeko gai izan beharko lukete). Zenbat? Asko? Hainbat mila? Bai:

1912098225024001185793365052108800000000 (ez gaitezen saiatu ere zenbaki hau irakurtzen). "Zero" posizioa ezartzeko aukera asko daude. Eta zaila izan daiteke.

Gure makinak bi disko biribil ditu. Horietako batean, oraindik zutik dagoena, letrak idatzita daude. Telefono zahar baten markaketa bezalakoa da, non zenbaki bat markatu duzun markatzailea guztiz biratuz. Rotary kolore eskema duen bigarrena da. Modurik errazena kortxo arrunt batean jartzea da. Kortxoaren ordez, taula mehe bat edo kartoi lodi bat erabil dezakezu. Lukasz Badowski eta Zasław Adamaszek bi diskoak CD kutxa batean jartzea gomendatzen dute.

Imajinatu ARMATY hitza kodetu nahi dugula (Arroza. 2 eta 3). Ezarri gailua zero posizioan (gezia gora). A letra F-ri dagokio. Biratu barne-zirkuitua letra bat eskuinera. R letra dugu kodetzeko, orain A-ri dagokio. Hurrengo biraketaren ondoren, M letra U-ri dagokiola ikusiko dugu. Hurrengo biraketak (laugarren diagrama) A - P korrespondentzia ematen du. Bosgarren dialean T dugu. - A. Azkenik (seigarren zirkulua ) Y – Y etsaiak ziurrenik ez du asmatuko gure CFCFAak berarentzat arriskutsuak izango direnik. Eta nola irakurriko du “gureak” bidalketa? Makina bera izan behar dute, bera "programatuta", hau da, permutazio berdinarekin. Zifratua zero posizioan hasten da. Beraz, F-ren balioa A da. Biratu diala erlojuaren orratzen norantz. Orain A hizkia R-rekin lotzen da. Eskuinera biratzen du esfera eta U hizkiaren azpian M aurkitzen du, etab. Zifratzailearen arduraduna jeneralarengana doa: «Jenerala, salatzen ari naiz, armak datoz!».

Arroza. 3. Gure paperaren Enigmaren funtzionamendu-printzipioa.

Arroza. 3. Gure paperaren Enigmaren funtzionamendu-printzipioa.

Halako Enigma primitibo baten aukerak harrigarriak dira. Irteerako beste permutazio batzuk aukeratu ditzakegu. Ezin dugu -eta hemen aukera gehiago ere badaude- ez "serif" bat aldizka, baizik eta egunero aldatzen den ordena jakin batean, hexagono baten antzera (adibidez, lehen hiru letrak, gero zazpi, gero zortzi, lau... .. etab. .).

Nola asma dezakezu?! Hala ere, matematikari poloniarrentzat (Marian Reevski, Henryk Zigalski, Jerzy Ruzicki) gertatu zen. Horrela lortutako informazioa eskerga izan zen. Aurretik, gure defentsaren historian ere ekarpen garrantzitsua izan zuten. Vaclav Serpinski i Stanislav Mazurkevitx1920an errusiar tropen kodea urratu zuena. Atzemandako kableak Vepsz ibaitik maniobra famatua egiteko aukera eman zion Piłsudskiri.

Vaslav Sierpinski (1882-1969) gogoan dut. Kanpoko mundua existitzen ez zen matematikari bat zirudien. Ezin izan zuen 1920ko garaipenean izandako parte hartzeaz hitz egin, bai militarrengatik, bai... arrazoi politikoengatik (Poloniako Herri Errepublikako agintariei ez zitzaizkien gustatzen Sobietar Batasunetik defendatu gintuztenak).

Arroza. 4. Permutazioa (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).

Arroza. 5. Dekorazio ederra, baina ez egokia enkriptatzeko. Erregularregia.

1. ataza. Na irud. 4 beste permutazio bat duzu Enigma sortzeko. Kopiatu marrazkia xerografian. Eraiki auto bat, kodetu zure izena eta abizena. Nire CWONUE JTRYGT. Zure oharrak pribatuak mantendu behar badituzu, erabili Cardboard Enigma.

2. ataza. Zifratu ikusi dituzun "kotxe" baten izena eta abizena, baina (kontuz!) konplikazio gehigarri batekin: ez dugu koska bat eskuinera biratzen, {1, 2, 3, 2, 1, eskemaren arabera baizik, 2, 3, 2, 1, ....} - hau da, lehenengo bat, gero bi, gero hiru, gero 2, gero berriro 1, gero 2, etab., halako "uhina" bat . Ziurtatu nire izena eta abizena CZTTAK SDBITH gisa enkriptatuta daudela. Orain ulertzen al duzu Enigma makina zein indartsua zen?

Batxilergoko graduatuentzako arazoak konpontzea. Zenbat konfigurazio aukera Enigmarako (bertsio honetan, artikuluan azaltzen den bezala)? 24 letra ditugu. Lehenengo letra parea hautatzen dugu - hau egin daiteke

moduak. Hurrengo bikotea aukera daiteke

moduak, gehiago

etab. Dagozkion kalkuluen ondoren (zenbaki guztiak biderkatu behar dira), lortuko dugu

151476660579404160000

Orduan zatitu zenbaki hori 12z! (12 faktoriala), bikote berdinak beste ordena batean lor daitezkeelako. Beraz, azkenean "guztira" lortzen dugu

316234143225,

hori 300 mila milioi pasatxo da, eta horrek ez dirudi kopuru izugarri handia denik gaur egungo superordenagailuentzat. Hala ere, permutazioen ordena aleatorioa kontuan hartzen bada, kopuru hori nabarmen handitzen da. Beste permutazio mota batzuk ere pentsa ditzakegu.

Ikusi ere: