Ezerari buruzko artikulua

Txikitan liluratu egin ninduen, ziurrenik irakurle askok ezagutzen duten istorioak, “zopa iltze batean”. Nire amonak (jaiotzaren XNUMX. mendea) hau esan zidan bertsioan "Kosakoa etorri zen eta ura eskatu zuen, iltze bat duelako eta zopa prestatuko duelako". Azafata bitxiak ur lapiko bat eman zion... eta badakigu zer gertatu zen gero: “zopa gazia, gozoa, amona, gatza”, gero haragia garbitu zuen “zaporea hobetzeko” eta abar. Azkenean, iltze “egosia” bota zuen.

Beraz, artikulu hau espazioaren hutsuneari buruzkoa zen, eta hau 67ko azaroaren 12an Europako aparatu bat 2014P / Churyumov-Gerasimenko kometan lurreratzeari buruzkoa da. Baina idazten ari nintzenean, aspaldiko ohitura bati men egin nion, Matematikaria naiz oraindik. Nola da Atsegin dutс Zero matematika?

Nola existitzen da ezer?

Ezin da esan ezer ez dagoenik. Gutxienez kontzeptu filosofiko, matematiko, erlijioso eta guztiz kolokial gisa existitzen da. Zero zenbaki arrunt bat da, termometroan zero gradu tenperatura ere bada, eta banku batean zero balantzea desatsegina baina ohikoa da. Kontuan izan kronologian ez dagoela zero urterik, eta hau da, zero Erdi Aroaren amaieran soilik sartu zelako matematikan, Dionisio monjeak (XNUMX. mendea) proposatutako kronologia baino beranduago.

Bitxia bada ere, benetan zero hori gabe egin genezake eta, beraz, zenbaki negatiborik gabe. Logika-liburuetako batean, ariketa bat aurkitu dut: marraztu edo esan nola imajinatzen duzun arrainen eza. Harrigarria, ezta? Edonork marraz dezake arrain bat, baina ez bat?

Orain laburki oinarrizko matematika ikastaroa. ∅ zirkulu gurutzatuz markatutako multzo hutsari existentzia-pribilegioa ematea zenbaki multzoari zero gehitzearen antzeko prozedura beharrezkoa da. Multzo hutsa elementurik ez duen multzo bakarra da. Horrelako bildumak:

Baina ez daude bi multzo huts ezberdin. Multzo hutsa beste multzo guztietan sartzen da:

Izan ere, logika matematikoaren arauek esaten dute A multzoa B multzoan dagoela baldin eta esaldia:

dakar

∅ multzo hutsaren kasuan, proposizioa beti da faltsua, eta horrela, logikaren legeen arabera, inplikazioa, oro har, egia da. Dena gezur batetik dator ("hemen kaktus bat haziko dut hurrengo klasera pasatzen bazara..."). Beraz, multzo hutsa beste bakoitzean dagoenez, bi ezberdin izango balira, horietako bakoitza bestean sartuta egongo litzateke. Hala ere, bi multzo bata bestearen barruan badaude, berdinak dira. Horregatik: multzo huts bakarra dago!

Multzo huts baten existentziaren postulatuak ez du matematikaren inongo legerik kontraesanean, beraz, zergatik ez eman bizia? Printzipio filosofikoa izenekoaOccam-en bizarra»Alferrikako kontzeptuak baztertzeko agindua, baina zuzena multzo hutsaren kontzeptua oso erabilgarria da matematikan. Kontuan izan multzo hutsak -1 dimentsioa duela (minus bat) - zero dimentsioko elementuak puntuak dira eta haien sistema urriak, dimentsio bakarreko elementuak lerroak dira, eta fraktalen kapituluan dimentsio fraktala duten elementu matematiko oso konplexuez hitz egin dugu. .

Interesgarria da matematikaren eraikuntza osoa: zenbakiak, zenbakiak, funtzioak, operadoreak, integralak, diferentzialak, ekuazioak... kontzeptu batetik erator daitezkeela: multzo huts batetik! Nahikoa da multzo huts bat dagoela pentsatzea, sortu berri diren elementuak multzotan konbina daitezke, eraiki matematika guztiak. Horrela eraiki zituen Gottlob Frege logiko alemaniarrak zenbaki naturalak. Zero multzo hutsaren elementuekin elkarrekiko korrespondentzia duten multzoen klasea da. Bata elementu bakarra multzo hutsa den multzo bateko elementuekin elkarrekiko korrespondentzia duten multzoen klasea da. Bi multzoen klase bat da, zeinen elementuak bat-batekoak diren multzo hutsak eta elementu bakarra multzo hutsa den multzoko elementuak... eta abar. Lehen begiratuan, badirudi oso konplikatua dela, baina egia esan ez da horrela.

Urdina zabaldu zitzaidan

txilar usaina eta menda usaina...

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Zaila da imajinatzea

Ezer ez da zaila imajinatzen. Stanisław Lem-en "Nola salbatu zen mundua" ipuinean, Trurl diseinatzaileak gutun batetik hasita dena egingo zuen makina bat eraiki zuen. Klapauciok eraikitzeko agindu zuenean Nic, makina mundutik hainbat objektu kentzen hasi zen, dena kentzeko azken helburuarekin. Klapaucius beldurtuak kotxea gelditu zenerako, galerak, haginak, zintzilikariak, hackak, errimak, irabiagailuak, pufak, birringailuak, pintxoak, filidroak eta izozteak desagertu ziren betiko mundutik. Eta, egia esan, betiko desagertu ziren...

Józef Tischnerrek oso ondo idatzi zuen ezerezari buruz Mendiko Filosofiaren Historian. Nire azken oporretan, ezereza hori bizitzea erabaki nuen, hots, Podhale-ko Nowy Targ eta Jabłonka arteko zohikaztegietara joan nintzen. Eremu honi Pustachia ere esaten zaio. Zoaz, zoaz, baina errepidea ez da gutxitzen -noski, gure eskala apalean, poloniar-. Egun batean autobus bat hartu nuen Kanadako Saskatchewan probintzian. Kanpoan arto-soro bat zegoen. Ordu erdiko siesta egin nuen. Esnatu nintzenean, arto-soro beretik ibiltzen ginen... Baina itxaron, hau hutsik al dago? Zentzu batean, aldaketarik eza hutsunea besterik ez da.

Gure inguruan hainbat objekturen etengabeko presentziara ohituta gaude, eta Zerbait ezin duzu ihes egin begiak itxita ere. "Uste dut, beraz, naiz", esan zuen Descartesek. Dagoeneko zerbait pentsatu badut, existitzen naiz, hau da, munduan zerbait badagoela esan nahi du (hots, ni). Nik uste nuena existitzen al da? Hau eztabaida daiteke, baina mekanika kuantiko modernoan Heisenberg printzipioa ezaguna da: behaketa bakoitzak behatutako objektuaren egoera asaldatzen du. Ikusten dugun arte Nic ez da existitzen, eta bilatzen hasten garenean, objektuak izateari uzten dio Atsegin dut eta bihurtzen da Zerbait. Absurdo bihurtzen ari da printzipio antropikoa: Gu existituko ez bagina mundua nolakoa izango litzatekeen galdetzeak ez du balio. Mundua iruditzen zaiguna da. Agian beste izaki batzuek Lurra angeluzuzen gisa ikusiko dute?

Positroi bat (elektroi positiboa esaterako) espazioan dagoen zulo bat da, "ez dago elektroirik". Deuseztatze-prozesuan, elektroia zulo honetara jauzi egiten da eta "ez da ezer gertatzen" - ez dago zulorik, ez elektroirik. Suitzako gaztan egindako zuloei buruzko txiste asko saltatuko ditut (“zenbat eta gehiago izan, orduan eta gutxiago...”). John Cage konpositore ospetsuak ordurako bere ideiak halako neurrian erabili zituen, non konposatu zuen (?) musika pieza bat (?) non orkestra 4 minutu eta 33 segundoz geldirik egoten den eta, jakina, ezer jotzen ez duen. "Lau minutu eta hogeita hamahiru segundo berrehun eta hirurogeita hamahiru, 273, eta ken 273 gradu zero absolutua da, eta horretan gelditzen da mugimendu guztiak", azaldu du konpositoreak (?).

Iragazi zero, ezer, ez, ez, ezer, zero!

Jerzy Andrzej Wajdaren Over the Years filmean,

egunak pasatzen"

Zer moduz denek?

Jende askok (nekazari soiletatik hasi eta filosofo nabarmenetaraino) existentziaren fenomenoaz galdetzen zuen. Matematikan, egoera sinplea da: badago koherentea den zerbait.

Soro bazterretan desagertu zen

Arto-loreetan, belarretan eta lehoi-ahotan...

Tira, horrelako gauzak gertatzen dira

Batez ere uztan, eta uzta garaian

batez ere…

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Dena Ezeraren beste muturrean dago. Matematikan, badakigu Dena ez da existitzen. Bere existentzia polemikarik gabekoa izango den ideia okerregia besterik ez da. Hau uler daiteke paradoxa zaharraren adibidearekin: «Jainkoa ahalguztiduna bada, sortu harri bat jasotzeko?». Multzo guztien multzoak ezin direla dioen froga matematikoa teoreman oinarritzen da abeslaria-Bershtein, "zenbaki infinitu bat" dela dio (matematika: zenbaki kardinala) multzo jakin bateko kide guztien multzoa multzo horretako elementu kopurua baino handiagoa da.

Multzo batek elementuak baditu, 2 dituⁿ azpimultzoak; adibidez, = 3 denean eta multzoa {1, 2, 3}z osatuta dagoenean, orduan azpimultzo hauek existitzen dira:

• bi elementuko hiru multzo: horietako bakoitzari 1, 2, 3 zenbakietako bat falta zaio,
• multzo huts bat,
• elementu bakarreko hiru multzo,
• multzo osoa {1,2,3}

– zortzi bakarrik, 2³Eta eskola amaitu berri duten irakurleok, dagokion formula gogorarazi nahiko nuke:

Formula honetako ikur newtoniar bakoitzak -elementu multzoko k-elementu multzoen kopurua zehazten du.

Matematikan, koefiziente binomialak beste leku askotan agertzen dira, biderketa murrizturako formula interesgarrietan adibidez:

eta haien forma zehatzetik, elkarrekiko mendekotasuna askoz interesgarriagoa da.

Zaila da ulertzea zer den -logikari eta matematikari dagokionez-, eta zer ez den Dena. Ez-existentziaren argudioak Winnie the Pooh-renaren berdinak, adeitsu galdetu ziolako bere gonbidatuari, Tigerri, Tigreri eztia, ezkurrak eta karduak gustatzen al zaizkio? "Tigreei dena gustatzen zaie", erantzun zuen Kubusek ondorioztatu zuen dena gustatzen bazaie, lurrean lo egitea ere gustatzen zaiela, beraz, bera, Vinnie, ohera itzul daiteke.

Beste argudio bat Russellen paradoxa. Bada herrian bizargin bat bere burua bizarra egiten ez duten gizon guztiak bizarra egiten dituena. Bere burua bizarra egiten al du? Erantzun biek kontraesanean jartzen dute beraiek egiten ez duten horiek eta soilik hiltzen dituzten baldintzarekin.

Bilduma guztien bildumaren bila

Amaitzeko, multzo guztien multzorik ez dagoela dioen froga burutsu bat emango dut, baina matematikoena (ez da horrekin nahastu behar).

Lehenik eta behin, erakutsiko dugu hutsik ez dagoen edozein X multzorentzat ezinezkoa dela multzo hori bere azpimultzoen P(X) multzoarekin mapatzen duen elkarren arteko funtzio bakarra aurkitzea. Beraz, demagun funtzio hau existitzen dela. Adieraz dezagun f tradizionalarekin. Zer da f x-tik? Hau bilduma bat da. xf x-ri dagokio? Hau ezezaguna da. Edo egin behar duzu ala ez. Baina x batzuentzat oraindik halakoa izan behar da, x-ren f-ri ez dagokiona. Beno, orduan kontuan hartu x f(x) ez den x guztien multzoa. Adierazi (multzo hau) A-rekin. X multzoko a elementu bati dagokio. A A-ri dagokio? Demagun behar duzula. Baina A f(x)-ri ez diren x-ren elementuak bakarrik dituen multzoa da... Tira, agian ez al da A-rena? Baina A multzoak propietate honen elementu guztiak ditu, eta, hortaz, A ere bai. Frogaren amaiera.

Beraz, multzo guztien multzoa balego, bera berez azpimultzo bat izango litzateke, aurreko arrazoibidearen arabera ezinezkoa dena.

Uf, ez dut uste irakurle askok froga hau ikusi dutenik. Aitzitik, matematikariek XIX.mendearen amaieran egin behar zutena erakusteko ekarri nuen, beren zientziaren oinarriak aztertzen hasi zirenean. Arazoak inork espero ez zituen tokian daudela ikusi zen. Gainera, matematika osorako, oinarriei buruzko arrazoiketa hauek ez dute axola: ez du axola zer gertatzen den upategietan - matematikaren eraikin osoa harri sendo baten gainean dago.

Bitartean, goian...

Stanislav Lem-en istorioetatik moraltasun bat gehiago nabaritzen dugu. Bere bidaietako batean, Iyon Tichi planeta batera iritsi zen, zeinaren biztanleak, bilakaera luze baten ondoren, azkenean garapen maila gorenera iritsi ziren. Denak dira indartsuak, edozer egin dezakete, dena dute eskura... eta ez dute ezer egiten. Hondarrean etzan eta hatz artean isurtzen dute. «Dena posible bada, ez du merezi», azaldu diote harrituta Ijoni. Ez dadila hau gertatu gure Europako zibilizazioari...