Koloretako karratuak eta eguzki eklipseak

Artikuluak erdi mailako ikasleentzako nire klaseak deskribatzen ditu - Haurren Fondo Nazionalaren bekadunak. Fundazioak bereziki trebetasun handiko haurrak eta gazteak bilatzen ditu (lehen hezkuntzako XNUMX. mailatik batxilergoraino) eta "bekak" eskaintzen dizkie aukeratutako ikasleei. Hala ere, ez dira inola ere dirua kentzean, talentua garatzeko arreta integralean baizik, oro har, urte askotan zehar. Mota honetako beste hainbat proiektuk ez bezala, zientzialari ezagunek, kulturgileek, humanista nabarmenek eta beste jakintsu batzuek, baita politikari batzuek ere, serio hartzen dituzte Fundazioaren barrutiak.

Fundazioaren jarduera oinarrizko eskola-gaiak diren diziplina guztietara hedatzen da, kirola izan ezik, artea barne. Funtsa 1983an sortu zen, orduko errealitatearen aurkako antidoto gisa. Edonork egin dezake eskaera funtsera (normalean ikastetxe baten bidez, ahal dela ikasturtea amaitu baino lehen), baina, noski, bahe jakin bat dago, kualifikazio prozedura jakin bat.

Esan dudan bezala, artikulua nire klase magistraletan oinarrituta dago, zehazki Gdynia-n, 2016ko martxoan, 24. batxilergoan, III institutuan. Armada. Urte askotan zehar, Wojciech Thomalczyk-ek, aparteko karisma eta maila intelektual handiko irakasle batek, Fundazioaren babespean antolatu ditu mintegi hauek. 2008an Poloniako hamar onenen artean sartu zen, Pedagogiako katedradun titulua eman zieten (legeak duela urte asko xedatua). Gehiegikeria apur bat dago adierazpenean: “Hezkuntza munduaren ardatza da”.

eta ilargia beti dira liluragarriak - orduan sentitu dezakezu planeta txiki batean bizi garela espazio erraldoi batean, non dena mugimenduan dagoen, zentimetro eta segundotan neurtuta. Pixka bat beldurtzen nau, baita denboraren ikuspegiak ere. Hurrengo eklipse osoa, gaur egungo Varsoviako eremutik ikusgai, ... 2681ean izango dela jakin dugu. Nork ikusiko du? Gure zeruan Eguzkiaren eta Ilargiaren itxurazko tamainak ia berdinak dira, horregatik eklipseak hain laburrak eta hain ikusgarriak dira. Mendeetan zehar, minutu labur horiek nahikoa izan beharko lukete astronomoek eguzki koroa ikusteko. Bitxia da urtean bitan gertatzea... baina horrek bakarrik esan nahi du Lurreko nonbait denbora laburrean ikus daitezkeela. Marea-mugimenduen ondorioz, Ilargia Lurretik urruntzen ari da -260 milioi urte barru hain urrun egongo da (guk???) eklipse anularrak soilik ikusiko ditugula.

Itxuraz aurreikusten lehena eklipse, Tales Miletokoa izan zen (K.a. 28-585 mendeak). Ziurrenik ez dugu jakingo benetan gertatu zen, hau da, iragarri zuen ala ez, Asia Txikiko eklipsea K.a. 567ko maiatzean gertatu izana kalkulu modernoek baieztatu duten gertaera baita. Noski, gaurko denboraren konturako datuak aipatzen ditut. Haurra nintzenean, jendeak urteak nola zenbatzen zituen imajinatzen nuen. Beraz, hau da, adibidez, 566 BC, Urteberri gaua dator eta jendea pozten ari da: XNUMX urte bakarrik BC! Zein pozik egon behar zuten azkenean “gure garaia” iritsi zenean! A zer nolako urteak bizi izan genituen duela urte batzuk!

Datak eta barrutiak kalkulatzeko matematika eklipseak, ez da bereziki konplikatua, baina erregulartasunarekin eta, are okerrago, gorputzak orbitan duen mugimendu irregularrarekin lotutako era guztietako faktoreez josia dago. Matematika hau ere jakin nahiko nuke. Nola egin ditzake Miletoko Thalesek beharrezko kalkuluak? Erantzuna erraza da. Zeruko mapa izan behar duzu. Nola egin halako mapa bat? Hau ere ez da zaila, antzinako egiptoarrek bazekiten nola egiten zen. Gauerdian, bi apaiz ateratzen dira tenpluko teilatura. Bakoitza eseri eta ikusten duena marrazten du (bere lankidea bezala). Bi mila urteren buruan, planeten mugimenduari buruz dena dakigu...

Geometria ederra, edo dibertigarria "alfonbra" gainean

Greziarrek ez zituzten zenbakiak gustuko, geometriara jotzen zuten. Hauxe egingo dugu. Gurea eklipse sinpleak, koloretsuak, baina bezain interesgarriak eta errealak izango dira. Irudi urdina gorria eklipsatzen duen moduan mugitzen den konbentzioa onartzen dugu. Dei diezaiogun irudi urdinari ilargia, eta irudi gorriari eguzkia. Galdera hauek egiten dizkiogu geure buruari:

1. zenbat irauten du eklipse batek;
2. xedearen erdia estalita dagoenean;

   Arroza. 1 Kolore anitzeko "alfonbra" eguzkiarekin eta ilargiarekin

3. zein den gehieneko estaldura;
4. posible da ezkutuaren estalduraren mendekotasuna garaiz aztertzea? Artikulu honetan (testu kopuruagatik mugatuta nago) bigarren galderan zentratuko naiz. Horren atzean geometria polit bat dago, agian kalkulu aspergarririk gabe. Ikus dezagun irud. 1. Pentsa daiteke ... eguzki eklipse batekin lotuko dela?

Zintzotasunez esan behar dut eztabaidatuko ditudan zereginak bereziki hautatuak izango direla, erdi eta batxilergoko ikasleen ezagutza eta gaitasunetara egokituta. Baina horrelako zereginetan entrenatzen dugu musikariek eskalak jotzen, eta kirolariek garapen ariketa orokorrak egiten dituzte. Gainera, ez al da alfonbra ederra besterik (1. irud.)?

Arroza. 2 Ilargi "urdina" eta eguzki "gorria".

Gure zeruko gorputzak, hasieran behintzat, koloretako karratuak izango dira. Ilargia urdina da, eguzkia gorria (margotzeko onena). orainaldiarekin eklipse Ilargiak zeruan zehar eguzkia atzetik jarraitzen du, harrapatzen du... eta itxi egiten du. Berdin izango da gurekin. Kasurik errazena, Ilargia Eguzkiarekiko mugitzen denean, irudian ikusten den bezala. 2. Eklipse bat Ilargiaren diskoaren ertzak Eguzkiaren diskoaren ertza ukitzen duenean hasten da (2. irud.) eta haratago doanean amaitzen da.

Arroza. 3 Ilargia diagonalean hurbiltzen da eguzkira

Suposatzen dugu "Ilargiak" zelula bat mugitzen duela denbora-unitate bakoitzeko, adibidez, minutuko. Eklipseak zortzi denbora-unitate irauten du, esate baterako, minutuak. Erdia eguzki eklipseak guztiz ilunduta Markagailuaren erdia bi aldiz ixten da: 2 eta 6 minuturen buruan. Ehuneko iluntze grafikoa sinplea da. Lehenengo bi minutuetan, ezkutua berdin ixten da zerotik 1eko abiaduran, hurrengo bi minutuetan abiadura berean azaltzen da.

Hona hemen adibide interesgarriago bat (3. irudia). Ilargia eguzkira diagonalean hurbiltzen da. Gure minutuko ordainketa akordioaren arabera, eklipseak 8√ irauten du2 minutuak - denbora honen erdian eklipse osoa dugu. Kalkula dezagun t denboraren ondoren eguzkiaren zer zati dagoen (3. irudia). Eklipsearen hasieratik t minutu igaro badira, eta ondorioz Ilargia irudian ageri den bezala dago. 5, orduan (kontuz!) Beraz, estalita dago (APQR karratuaren azalera), eguzki-diskoaren erdiaren berdina; beraz, estali zenean, hau da. 4 minuturen buruan (gero eklipsea amaitu baino 4 minutu lehenago).

Arroza. 4 "Itzaldura" funtzioaren grafikoa

Osotasuna une bat irauten du (t = 4√2), eta "itzalpeko zatia" funtzioaren grafikoa parabolten bi arkuz osatuta dago (4. irudia).

Gure ilargi urdinak eguzki gorriarekin izkina ukituko du, baina estali egingo du, ez diagonalean, apur bat diagonalean joanda.Geometria interesgarria agertzen da mugimendua pixka bat zaildu dugunean (6. irudia). Mugimenduaren norabidea bektorea da orain [4,3], hau da, "lau gelaxka eskuinera, hiru gelaxka gora". Eguzkiaren posizioa halakoa da, non eklipsea hasten da (A posizioa) "zeru-gorputzen" aldeak beren luzeraren laurdenera bat egiten dutenean. Ilargia B posiziora mugitzen denean, Eguzkiaren seiren bat eklipsatuko du, eta C posizioan erdia eklipsatuko du. D posizioan, eklipse totala dugu, eta gero dena atzera egiten du, "zen bezala".

Arroza. 5 Eguzkiaren zatia t denboran ezkutatuta

Eklipsea Ilargia G posizioan dagoenean amaitzen da. Adina iraun zuen sekzio luzera AG. Lehen bezala, denbora-unitate gisa Ilargiak "karratu bat" igarotzen duen denbora hartzen badugu, AG-ren luzera berdina da. Gure zeruko gorputzak 4 x 4 direla dioen konbentzio zaharrera itzuliko bagina, emaitza ezberdina izango litzateke (zer?). Erakutsi erraza denez, helburua t < 15 ondoren ixten da. "Pantaila-estalduraren ehunekoa" funtzioaren grafikoa ikus daiteke irudian. 6.

Arroza. 6 "Ehuneko babesa" funtzioaren grafikoa

Eklipsearen eta jauziaren ekuazioa

Arroza. 7 Eguzki-diskoaren oztopoa irudian ageri den eklipsean. 6

Eklipseen arazoa osatu gabe egongo litzateke zirkuluen kasua kontuan hartuko ez bagenu. Askoz korapilatsuagoa da, baina saia gaitezen zirkulu batek bestearen erdia eklipsatzen duenean, eta kasurik errazenean, biak lotzen dituen diametroan bietako bat noiz mugitzen den. Marrazkia ezaguna da kreditu-txartel batzuen jabeentzat.

Eremuen posizioa kalkulatzea zaila da, lehenik segmentu zirkular baten eremuaren formula ezagutzea eskatzen baitu, bigarrenik, angeluaren arkuaren ezagutza eta hirugarrenik (eta okerrena), gaitasuna. jauzi-ekuazio jakin bat ebazteko. "Ekuazio iragankorra" zer den ez dut azalduko, ikus dezagun adibide bat (8. irud.).

Arroza. 8 Eklipse "esferikoa".

Sekzio zirkularra lerro zuzen batekin zirkulu bat moztu ondoren geratzen den "ontzia" da. Segmentu horren azalera S = 1/2r da²(φ-sinφ), non r zirkuluaren erradioa den eta φ segmentuaren gainean dagoen angelu zentrala den (8. irud.). Hau erraz lortzen da triangeluaren azalera sektore zirkularraren eremutik kenduz.

O atala₁O₂ (zirkuluen zentroen arteko distantzia) 2rcosφ/2 berdina da, eta altuera (zabalera, “gerria”) h = 2rsinφ/2. Beraz, Ilargiak eguzki-diskoaren erdia noiz estaliko duen kalkulatu nahi badugu, ekuazioa ebatzi behar dugu: sinplifikatu ondoren, hau da:

Arroza. 9 Bi funtzioren grafikoak

Ekuazio horien ebazpena aljebra soiletik haratago doa - ekuazioak angeluak eta haien funtzio trigonometrikoak ditu. Ekuazioa metodo tradizionalen eskura ez dago. Horregatik deitzen zaio salto egin. Ikus ditzagun lehenik bi funtzioen grafikoak, hau da, funtzioak eta funtzioak. Irudi honetatik gutxi gorabeherako soluzio bat irakur dezakegu. Hala ere, hurbilketa iteratibo bat lor dezakegu edo... Excel kalkulu-orrian Solver aukera erabil dezakegu. Batxilergoko ikasle orok izan beharko luke hori egiteko, XX. Mathematica tresna sofistikatuagoa erabili nuen eta hona hemen gure irtenbidea beharrezkoa ez den doitasuneko 20 hamartarrekin:

Ezarri zehaztasuna[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Arroza. 10 Eklipsearen animazioa matematikan

Hau gradu bihurtzen dugu 180/πz biderkatuz. 132 gradu, 20 minutu, 45 eta arku segundo laurden lortuko ditugu. Zirkuluaren zentrorako distantzia O dela kalkulatzen dugu₁O₂ = 0,808 erradioa, eta "gerria" 2,310.