Bide geometrikoak eta sastrakak

Artikulu hau idaztean, Jan Pietrzaken abesti zahar bat gogoratu nuen, Poloniako Herri Errepublikan segurtasun balbula gisa aitortutako Pod Egidą kabaretean bere jarduera satirikoa baino lehen abesten zuena; sistemaren paradoxekin barre egin liteke zintzotasunez. Abesti honetan parte hartze politiko sozialista gomendatu zuen egileak, apolitikoa izan nahi dutenei barregarria eginez eta egunkarian irratia itzaltzea. "Hobe da eskolara irakurtzen itzultzea", esan zuen orduan XNUMX urteko Petshak ironiaz.

Eskolara itzuliko naiz irakurtzen. Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati" liburua berriro irakurtzen ari naiz (ez lehen aldiz). Irakurle gutxirentzat hitzak berak zerbait esaten du. Hauxe du izena Bhaskara (1114-1185) izenez ezagutzen den matematikari hindu ospetsuaren alabaren izena, Akaria izenekoa, edo bere aljebra liburuari izen horrekin izenburua jarri zion jakintsuaren izena. Lilavati beranduago matematikari eta filosofo ospetsua bihurtu zen. Beste iturri batzuen arabera, bera izan zen liburua idatzi zuena.

Szczepan Yelenskyk izenburu bera jarri zion bere matematikari buruzko liburuari (lehen edizioa, 1926). Nahiz eta zaila izan daiteke liburu honi matematika-lan bat deitzea: puzzle-multzo bat zen, eta, neurri handi batean, frantses iturrietatik berridatzia (esangura modernoan copyright-eskubideak ez ziren existitzen). Nolanahi ere, urte askotan matematikari buruzko poloniar liburu ezagun bakarra izan zen —gero Jelenskyren bigarren liburua, Pitagoriko gozoak, gehitu zitzaion—. Beraz, matematikan interesa zuten gazteek (hau da, hain zuzen, garai batean nintzena) ez zuten ezer aukeratzeko...

aldiz, "Lilavati" ia bihotzez ezagutu behar zen... Ah, baziren garaiak... Haien abantailarik handiena ni... orduan nerabea nintzen. Gaur egun, ondo ikasitako matematikari baten ikuspuntutik, Lilavatiri guztiz beste modu batera begiratzen diot - agian Shpiglasova Pshelentxera doan bidearen bihurguneetako eskalatzaile baten antzera. Ez batak ez besteak ez du bere xarma galtzen ... Bere estilo bereizgarrian, Shchepan Yelenskyk, bere bizitza pertsonalean nazio-ideia deritzonak aldarrikatzen dituenak, hitzaurrean idazten du:

Nazio-ezaugarrien deskribapenari ukitu gabe, esango dut laurogeita hamar urteren buruan ere Yelenskyren hitzek matematikari buruz ez dutela garrantzia galdu. Matematikak pentsatzen irakasten dizu. Gertaera bat da. Irakatsi al dizuegu ezberdin, sinpleago eta ederrago pentsatzen? Agian. Besterik da... oraindik ezin dugu. Matematikarik egin nahi ez duten ikasleei hau ere adimenaren proba bat dela azaltzen diet. Ezin baduzu matematika-teoria oso sinplea ikasi, orduan... agian zure gaitasun mentalak biok nahi baino okerragoak dira...?

Seinaleak hondarrean

Eta hona hemen "Lylavati"-ko lehen istorioa - Joseph de Maistre (1753-1821) filosofo frantsesak deskribatutako istorioa.

Hondatutako itsasontzi bateko marinel bat olatuek ertz huts batera bota zuten, bizigabetzat jotzen zuena. Bat-batean, kostaldeko hareatzan, irudi geometriko baten arrastoa ikusi zuen norbaiten aurrean marraztuta. Orduan konturatu zen uhartea ez dagoela hutsik!

Mestri aipatuz, Yelenskyk honakoa idatzi du: irudi geometrikoaesamolde mutu bat izango zen zorigaiztoko, naufragioarentzat, kasualitatea, baina begirada batean proportzioa eta kopurua erakusten zizkion, eta honek gizon argia iragartzen zuen. Hainbeste historiarako.

Kontuan izan marinel batek erreakzio bera eragingo duela, adibidez, K letra, ... eta pertsona baten presentziaren beste edozein arrasto marraztuz. Hemen geometria idealizatuta dago.

Hala ere, Camille Flammarion (1847-1925) astronomoak proposatu zuen zibilizazioak elkar agurtzea urrutitik geometria erabiliz. Honetan ikusi zuen komunikazio saiakera zuzen eta posible bakarra. Erakuts ditzagun halako martziarrei pitagoriko triangeluak... Thalesekin erantzungo digute, guk Vieta ereduekin erantzungo diegu, haien zirkulua triangelu batean sartuko da, beraz, adiskidetasuna hasi zen...

Ideia horretara itzuli ziren Jules Verne eta Stanislav Lem bezalako idazleak. Eta 1972an, eredu geometrikoak (eta ez bakarrik) fitxak jarri zituzten Pioneer zundaren gainean, oraindik ere espazioaren hedadurak zeharkatzen dituena, gaur egun gugandik ia 140 unitate astronomikora (1 I da Lurrak Lurretik duen batez besteko distantzia). . Eguzkia, hau da, 149 milioi km inguru). Fitxa, neurri batean, Frank Drake astronomoak diseinatu zuen, estralurtar zibilizazioen kopuruari buruzko arau polemikoaren sortzailea.

Geometria harrigarria da. Denok ezagutzen dugu zientzia honen jatorriari buruzko ikuspuntu orokorra. Gu (gizakiok) lurra (eta gero lurra) neurtzen hasi berri gara helburu utilitarioenetarako. Distantziak zehaztea, zuzenak marraztea, angelu zuzenak markatzea eta bolumenak kalkulatzea pixkanaka beharrezkoa bihurtu zen. Horregatik guztia geometria ("Lurraren neurketa"), beraz, matematika guztiak ...

Hala ere, denbora batez zientziaren historiaren irudi argi horrek lainotu egin gintuen. Zeren eta matematika helburu operatiboetarako soilik beharko balitz, ez ginateke teorema sinpleak frogatzen arituko. «Ikusten duzu hori egia izan behar dela», esango luke zenbait triangelu zuzenetan hipotenusen karratuen batura hipotenusaren karratuaren berdina dela egiaztatu ondoren. Zergatik halako formalismoa?

Inhar tartak goxoa izan behar du, programa informatikoak funtzionatu behar du, makinak funtzionatu behar du. Kupelaren edukiera hogeita hamar aldiz zenbatu eta dena ondo badago, zergatik bestela?

Bitartean, antzinako greziarrei froga formal batzuk aurkitu behar zirela bururatu zitzaien.

Beraz, matematika Thalesekin hasten da (K.a. 625-547). Suposatzen da Mileto izan zela zergatik galdetzen hasi zena. Ez da nahikoa pertsona inteligenteentzat zerbait ikusi izana, zerbaitez konbentzituta egotea. Frogaren beharra ikusi zuten, suposiziotik tesirako argumentuen segida logiko bat.

Gehiago ere nahi zuten. Seguruenik, Thales izango zen fenomeno fisikoak modu naturalistan azaltzen saiatu zena, jainkozko esku-hartzerik gabe. Europako filosofia naturaren filosofiarekin hasi zen -dagoeneko fisikaren atzean dagoenarekin (hortik izena: metafisika-). Baina Europako ontologia eta filosofia naturalaren oinarriak pitagorikoek jarri zituzten (Pitagoras, K.a. 580-K.a 500).

Apenino penintsularen hegoaldeko Crotonen bere eskola sortu zuen -gaur egun sekta deituko genioke-. Zientzia (gaur egungo hitzaren zentzuan), mistizismoa, erlijioa eta fantasia denak oso lotuta daude. Thomas Mannek oso ederki aurkeztu zituen Alemaniako gimnasio batean matematikako ikasgaiak Doctor Faustus eleberrian. Maria Kuretskaya eta Witold Virpsha-k itzulita, zati honek honako hau dio:

Charles van Dorenen The History of Kwledge from the Dawn of History to Present Day liburu interesgarrian, oso ikuspuntu interesgarria aurkitu nuen. Kapituluetako batean, egileak eskola pitagorikoaren esangura deskribatzen du. Kapituluaren izenburuak berak harritu nau. Honela dio: "Matematikaren asmakizuna: pitagorikoak".

Askotan eztabaidatzen dugu teoria matematikoak aurkitzen diren (adibidez, lurralde ezezagunak) edo asmatzen diren (adibidez, lehen existitzen ez ziren makinak). Sormen matematikari batzuek ikertzaile gisa ikusten dute beren burua, beste batzuek asmatzaile edo diseinatzaile gisa, gutxiagotan kontatzaile gisa.

Baina liburu honen egileak, oro har, matematikaren asmakizunari buruz idazten du.

Gehiegikeriatik deliriora

Sarrera zati luze honen ostean, hasiera-hasierara joango naiz. geometriageometrian gehiegizko konfiantzak zientzialari bat nola engainatu dezakeen deskribatzeko. Johannes Kepler fisikan eta astronomian zeruko gorputzen higiduraren hiru legeen aurkitzaile gisa ezagutzen da. Lehenik eta behin, eguzki-sistemako planeta bakoitza eguzkiaren inguruan mugitzen da orbita eliptikoan, zeinaren fokuetako batean eguzkia baita. Bigarrenik, tarte erregularretan planetaren izpi nagusiak, Eguzkitik ateratakoak, eremu berdinak marrazten ditu. Hirugarrenik, Eguzkiaren inguruko planeta baten bira-aldiaren karratuaren erlazioa bere orbitaren ardatz erdi nagusiaren kuboaren (hau da, Eguzkitik batez besteko distantzia) konstantea da eguzki-sistemako planeta guztietan.

Agian hau izan zen hirugarren legea: datu eta kalkulu asko behar zituen ezartzeko, eta horrek bultzatu zuen Kepler planeten mugimenduan eta posizioan ereduak bilatzen jarraitzera. Bere "aurkikuntza" berriaren historia oso hezigarria da. Antzinatetik, poliedro erregularrak ez ezik, espazioan bost baino ez daudela erakusten duten argudioak ere miresten ditugu. Hiru dimentsioko poliedro bati erregular deritzo bere aurpegiak poligono erregular berdinak badira eta erpin bakoitzak ertz kopuru bera badu. Ilustrazio gisa, poliedro erregular baten izkina bakoitzak "itxura berdina" beharko luke. Poliedrorik ezagunena kuboa da. Denek ikusi dute orkatila arrunt bat.

Tetraedro erregularra ez da hain ezaguna, eta eskolan piramide triangeluar erregularra deitzen zaio. Piramide baten antza du. Gainerako hiru poliedro erregularrak ez dira hain ezagunak. Kubo baten ertzen zentroak lotzen ditugunean oktaedro bat sortzen da. Dodekaedroa eta ikosaedroa pilotak dirudite dagoeneko. Larru bigunez eginak, erosoak izango lirateke zulatzeko. Bost solido platonikoez gain poliedro erregularrik ez dagoela dioen arrazoiketa oso ona da. Lehenik eta behin, konturatzen gara gorputza erregularra bada, orduan erpin bakoitzean poligono erregular berdinen kopuru berdinak (izan bedi q) bat egin behar duela, izan bedi hauek p-angeluak. Orain gogoratu behar dugu zein den angelua poligono erregular batean. Norbait eskolatik gogoratzen ez bada, eredu egokia nola aurkitu gogorarazten dizugu. Bidaia bat egin genuen izkinan. Erpin bakoitzean a angelu beretik biratzen dugu. Poligonoa inguratu eta hasierako puntura itzultzean, halako birak egin ditugu, eta guztira 360 graduko bira egin dugu.

Baina α kalkulatu nahi dugun angeluaren 180 graduko osagarria da, eta beraz

Poligono erregular baten angeluaren (matematikari batek esango luke: angelu baten neurriak) formula aurkitu dugu. Egiazta dezagun: p = 3 triangeluan, ez dago a

Horrela. p = 4 denean (karratua), orduan

graduak ere ondo daude.

Zer lortzen dugu pentagono batengatik? Beraz, zer gertatzen da q poligonoak daudenean, p bakoitzak angelu berdinak dituenean

 graduak erpin batean beherantz? Plano batean balego, orduan angelu bat sortuko litzateke

gradu eta ezin da 360 gradu baino gehiago izan, orduan poligonoak gainjartzen direlako.

Hala ere, poligono hauek espazioan elkartzen direnez, angeluak angelu osoa baino txikiagoa izan behar du.

Eta hona hemen dena den desberdintasuna:

Zatitu 180z, biderkatu bi zatiak p, ordena (p-2) (q-2) < 4. Zer dator? Kontuan izan gaitezen p eta q zenbaki naturalak izan behar direla eta p > 2 (zergatik? Eta zer da p?) eta, gainera, q > 2. Ez dago modu asko bi zenbaki naturalen biderkadura 4 baino txikiagoa izateko. guztiak zerrendatuko ditut 1. taulan.

Ez dut marrazkirik jartzen, denek ikus ditzakete zifra hauek Interneten... Interneten... Ez diot digresio liriko bati uko egingo —agian irakurle gazteentzat interesgarria da—. 1970ean mintegi batean hitz egin nuen. Gaia zaila zen. Prestatzeko denbora gutxi nuen, arratsaldeetan esertzen nintzen. Artikulu nagusia irakurtzeko soilik zegoen lekuan. Leku erosoa zen, lan giroarekin, bueno, zazpietan ixten zen. Orduan, emaztegaiak (orain nire emaztea) berak proposatu zidan artikulu osoa berridaztea: inprimatutako dozena bat orrialde. Kopiatu nuen (ez, ez, boligrafoarekin ere bagenuen), hitzaldia arrakastatsua izan zen. Gaur, jada zaharra den argitalpen hau aurkitzen saiatu naiz. Egilearen izena baino ez dut gogoan... Interneten egindako bilaketak luze iraun zuen... hamabost minutu bete. Irribarre batekin eta justifikatu gabeko damu apur batekin pentsatzen dut.

Bertara itzultzen gara Kepler eta geometria. Antza denez, Platonek bosgarren forma erregularraren existentzia iragarri zuen zerbait bateratzailerik ez zuelako, mundu osoa hartzen zuena. Beharbada horregatik agindu zion ikasle bati (Theajtet) bere bila zezala. Izan zen bezala, hala izan zen, zeinaren arabera dodekaedroa aurkitu zen. Platonen jarrera horri panteismo deitzen diogu. Zientzialari guztiek, Newtoneraino, neurri handiagoan edo txikiagoan men egin zuten. Arrazionalki arrazionalaren XVIII. mendetik hona, bere eragina ikaragarri murriztu da, nahiz eta ez garen lotsatu behar denok era batera edo bestera men egiten dugulako.

Eguzki-sistema eraikitzeko Keplerren kontzeptuan dena zuzena zen, datu esperimentalak teoriarekin bat zetozen, teoria logikoki koherentea zen, oso ederra... baina guztiz faltsua. Bere garaian sei planeta baino ez ziren ezagutzen: Merkurio, Artizarra, Lurra, Marte, Jupiter eta Saturno. Zergatik daude sei planeta bakarrik? galdetu zuen Keplerrek. Eta zer erregulartasunak zehazten du Eguzkiarekiko distantzia? Dena lotuta zegoela suposatu zuen, hori geometria eta kosmogonia elkarren artean estu lotuta daude. Antzinako greziarren idazkietatik, bazekien bost poliedro erregular baino ez zeudela. Sei orbitaren artean bost hutsune zeudela ikusi zuen. Beraz, agian espazio libre horietako bakoitza poliedro erregular bati dagokio?

Hainbat urtetako behaketa eta lan teorikoaren ondoren, honako teoria hau sortu zuen, zeinaren laguntzarekin nahiko zehatz kalkulatu zituen orbiten dimentsioak, 1596an argitaratutako "Mysterium Cosmographicum" liburuan aurkeztu zuena: Imajinatu esfera erraldoia, horren diametroa Merkurioren orbitaren diametroa da eguzkiaren inguruan urteko mugimenduan. Orduan, imajina ezazu esfera honetan oktaedro erregular bat dagoela, haren gainean esfera bat, haren gainean ikosaedro bat, haren gainean berriro esfera bat, haren gainean dodekaedro bat, haren gainean beste esfera bat, haren gainean tetraedro bat, gero berriro esfera bat, kubo bat. eta, azkenik, kubo honetan baloia deskribatzen da.

Keplerrek ondorioztatu zuen ondoz ondoko esfera horien diametroak beste planeten orbiten diametroak zirela: Merkurio, Artizarra, Lurra, Marte, Jupiter eta Saturno. Teoria oso zehatza omen zen. Zoritxarrez, datu esperimentalekin bat etorri zen. Eta zer froga hoberik teoria matematiko baten zuzentasunari buruzko datu esperimentalekin edo behaketa-datuekin, batez ere "zerutik hartua" duten korrespondentzia baino? Kalkulu hauek 2. taulan laburbiltzen ditut. Beraz, zer egin zuen Keplerrek? Saiatu eta saiatu nintzen funtzionatu arte, hau da, konfigurazioa (esferen ordena) eta lortutako kalkuluak behaketa datuekin bat zetozenean. Hona hemen Keplerren zifra eta kalkulu modernoak:

Teoriaren lilurari men egin eta zeruko neurketak zehazgabeak direla sinetsi, eta ez tailerreko isiltasunean egindako kalkuluak. Zoritxarrez, gaur egun badakigu gutxienez bederatzi planeta daudela eta emaitzen kointzidentzia guztiak kasualitatea besterik ez direla. Pena bat. Hain ederra zen...