BERAZ NOI, hau da: PROBATU AHAL DUZUEN NON - 2. zatia

Aurreko atalean, Sudoku-a jorratu genuen, zeinetan zenbakiak funtsean hainbat diagramatan arau batzuen arabera antolatutako joko aritmetikoa. Aldaera ohikoena 9×9 xake-taula da, gainera, bederatzi 3×3 gelaxkatan banatuta. 1etik 9ra arteko zenbakiak ezarri behar dira, ez errenkada bertikalean (matematikariek esaten dute: zutabe batean) ez errenkada horizontalean (matematikariek esaten dute: lerroan) - eta, gainera, horrela. ez dute errepikatzen. errepikatu karratu txikiago batean.

Na irud. 1 puzzle hau bertsio sinpleago batean ikusten dugu, hau da, 6 × 6 karratu bat 2 × 3 laukizuzenetan banatuta. 1, 2, 3, 4, 5, 6 zenbakiak txertatzen ditugu bertan, bertikalki errepika ez daitezen, ezta ere. horizontalean, ezta aukeratutako hexagonoetako bakoitzean ere.

Saia gaitezen goiko laukian erakusten. Bete dezakezu 1etik 6ra arteko zenbakiekin joko honetarako ezarritako arauen arabera? Posible da, baina anbiguoa. Ikus dezagun: marraztu karratu bat ezkerrean edo karratu bat eskuinean.

Esan dezakegu hau ez dela puzzlearen oinarria. Normalean puzzle batek soluzio bakarra duela suposatzen dugu. Sudoku "handi"rako, 9x9, oinarri desberdinak aurkitzeko lana zaila da eta ez dago guztiz konpontzeko aukerarik.

Beste lotura garrantzitsu bat sistema kontraesankorra da. Beheko erdiko laukia (beheko eskuineko izkinan 2 zenbakia duena) ezin da osatu. Zergatik?

Dibertsioa eta erretiroak

Jarraitzen dugu. Erabili dezagun haurren intuizioa. Entretenimendua ikaskuntzarako sarrera bat dela uste dute. Goazen espaziora. piztuta irud. 2 denek ikusten dute sareta tetraedroapilotaetatik, adibidez, ping-pong pilotak? Eskolako geometria ikasgaiak gogoratu. Irudiaren ezkerraldeko koloreek blokea muntatzean zertan itsatsita dagoen azaltzen dute. Bereziki, hiru izkinako bola (gorri) batean itsatsiko dira. Beraz, kopuru bera izan behar dute. Agian 9. Zergatik? Eta zergatik ez?

Oh, ez dut esaldirik egin zereginak. Honelako soinua ematen du: posible al da 0tik 9rako zenbakiak sare ikusgaian inskribatzea, aurpegi bakoitzak zenbaki guztiak eduki ditzan? Zeregin ez da zaila, baina zenbat imajinatu behar duzun! Ez dut irakurleen plazerra zapuztuko eta ez dut irtenbiderik emango.

Oso forma ederra eta gutxietsia da. oktaedro erregularra, oinarri karratua duten bi piramide (=piramide)z eraikia. Izenak dioen bezala, oktaedroak zortzi aurpegi ditu.

Sei erpin daude oktaedro batean. Kontraesanean dago kuboasei aurpegi eta zortzi erpin dituena. Bi pikorren ertzak berdinak dira - hamabi bakoitza. Hau solido bikoitzak - honek esan nahi du kuboaren aurpegien zentroak lotuz oktaedro bat lortzen dugula, eta oktaedroaren aurpegien zentroek kubo bat emango digutela. Bi kolpe hauek funtzionatzen dute ("behar dutelako") Euler formula: erpin eta aurpegi kopuruaren batura ertz kopurua baino 2 gehiago da.

3. Proiekzio paraleloan dagoen oktaedro erregular bat eta esferez osatutako sare oktaedro bat, ertz bakoitzak lau esfera dituen moduan.

1. ataza. Lehenik eta behin, idatzi aurreko paragrafoko azken esaldia formula matematiko bat erabiliz. Gainean irud. 3 sareta oktaedriko bat ikusten duzu, hau ere esferez osatua. Ertz bakoitzak lau bola ditu. Aurpegi bakoitza hamar esferako triangelu bat da. Arazoa modu independentean ezartzen da: posible al da sareko zirkuluetan 0tik 9rako zenbakiak jartzea, gorputz solido bat itsatsi ondoren, horma bakoitzak zenbaki guztiak eduki ditzan (hori jarraitzen du errepikatu gabe). Lehen bezala, ataza honetan zailtasunik handiena sarea gorputz solido batean nola eraldatzen den da. Ezin dut idatziz azaldu, beraz, hemen ere ez dut irtenbidea ematen.

4. Bi ikosaedro ping-pong pilotak. Kontuan izan kolore eskema ezberdina.

dagoeneko Plato (eta K.a. V-XNUMX. mendeetan bizi izan zen) poliedro erregular guztiak ezagutzen zituen: tetraedroa, kuboa, oktaedroa, demaэдр i ikosaedroa. Harrigarria da nola iritsi zen hara: ez arkatz, paperik, boligraforik, libururik, smartphonerik, internetik! Ez dut hemen dodekaedroaz hitz egingo. Baina sudoku ikosedrikoa interesgarria da. Pikor hau ikusten dugu ilustrazioa 4eta bere sarea 5. irudia.

5. Ikosaedroaren sare erregularra.

Lehen bezala, hau ez da eskolatik (?!) gogoratzen dugun zentzuan sareta bat, baloietatik triangeluak itsasteko modu bat baizik.

2. ataza. Zenbat bola behar dira halako ikosaedro bat eraikitzeko? Arrazoiketa hau egia da oraindik: aurpegi bakoitza triangelu bat denez, 20 aurpegi egon behar badira, 60 esfera behar dira?

6. Ikosaedro baten sareta esferetatik. Zirkulu bakoitza, adibidez, ping-pong pilota bat da, baina kolore berdinarekin markatutako zirkuluetan zirkuluen eraikuntza bakar batean bat egiten da. Beraz, hamabi esfera ditugu (= hamabi erpin: gorria, urdina, morea, urdina eta zortzi horia).

Erraz ikusten da ikosaedroan hiru zenbaki ez direla nahikoa. Zehatzago: ezinezkoa da 1, 2, 3 zenbakiekin erpinak zenbatzea, aurpegi (triangeluar) bakoitzak hiru zenbaki hauek izan ditzan eta errepikapenik egon ez dadin. Posible al da lau zenbakirekin? Bai posible da! Ikus dezagun Arroza. 6 eta 7.

7. Hona hemen ikosaedroa osatzen duten esferak nola zenbatu, aurpegi bakoitzak 1, 2, 3, 4 ez diren beste zenbakiak izan ditzan. Irudiko zein gorputzek. 4 honela koloreztatuta dago?

3. ataza. Lau zenbakietatik hiru lau modutan hauta daitezke: 123, 124, 134, 234. Aurkitu irudiko ikosaedroan halako bost triangelu. 7 (baita ilustrazioak 4).

4. zeregina (oso irudimen espazial ona eskatzen du). Ikosaedroak hamabi erpin ditu, hau da, hamabi boletatik itsats daitekeela (irud. 7). Kontuan izan hiru erpin daudela (= bola) 1 batekin etiketatuta, hiru 2 batekin, eta abar. Horrela, kolore bereko bolak triangelu bat osatzen dute. Zer da triangelu hau? Agian aldekidea? Begira berriro ilustrazioak 4.

Hurrengo zeregina aitonaren / amona eta biloba / biloba. Gurasoak ere saiatu daitezke azkenean, baina pazientzia eta denbora behar dute.

5. ataza. Erosi hamabi (ahal izanez gero 24) ping-pong pilota, lau koloreko pintura, pintzela eta kola egokia. Ez dut gomendatzen Superglue edo Droplet bezalako azkarrek azkarregi lehortzen direlako eta haurrentzat arriskutsuak direlako. Kola ikosaedroan. Jantzi zure biloba berehala garbituko (edo botako den) kamiseta batekin. Estali mahaia paperarekin (hobe egunkariekin). Kontu handiz margotu ikosaedroa lau kolorez 1, 2, 3, 4, irudian ikusten den moduan. irud. 7. Ordena alda dezakezu: lehenengo puxikak margotu eta gero itsatsi. Aldi berean, zirkulu txikiak margotu gabe utzi behar dira, pintura pinturari itsats ez dadin.

Orain zeregin zailena (zehazkiago, haien sekuentzia osoa).

6. zeregina (Zehazkiago, gai orokorra). Marraztu ikosaedroa tetraedro eta oktaedro gisa Arroza. 2 eta 3 Horrek esan nahi du ertz bakoitzean lau bola egon behar direla. Aldaera honetan, zeregina denbora asko eta garestia ere bada. Has gaitezen zenbat bola behar dituzun jakiten. Aurpegi bakoitzak hamar esfera ditu, beraz, ikosaedroak berrehun behar ditu? Ez! Gogoratu behar dugu pilota asko partekatzen direla. Zenbat ertz ditu ikosaedro batek? Nekez kalkula daiteke, baina zertarako da Euler formula?

w–k+s=2

non w, k, s erpin, ertz eta aurpegien kopurua dira, hurrenez hurren. Gogoratzen dugu w = 12, s = 20 dela, hau da, k = 30. Ikosaedroaren 30 ertz ditugu. Bestela egin dezakezu, zeren 20 triangelu badaude, orduan 60 ertz baino ez dituzte, baina horietako bi ohikoak dira.

Kalkula ditzagun zenbat bola behar dituzun. Triangelu bakoitzean barruko bola bakarra dago, ez gure gorputzaren goialdean, ez ertzean. Horrela, guztira 20 baloi ditugu. 12 gailur daude. Ertz bakoitzak erpin gabeko bi bola ditu (ertz barruan daude, baina ez aurpegi barruan). 30 ertz daudenez, 60 kanika daude, baina horietako bi partekatzen dira, hau da, 30 kanika besterik ez dituzu behar, beraz, guztira 20 + 12 + 30 = 62 kanika behar dituzu. Gutxienez 50 zentimoren truke eros daitezke pilotak (gehienetan garestiagoak). Kolaren kostua gehitzen baduzu, asko aterako da. Itsatsi onek hainbat ordu lan zorrotza behar dute. Elkarrekin lasaitzeko denbora-pasarako egokiak dira; adibidez, telebista ikusi beharrean gomendatzen ditut.

Erretiroa 1. Andrzej Wajdaren Urteak, egunak zinema sailean, bi gizonek xakean jokatzen dute "afaltzera arte denbora nolabait pasa behar dutelako". Galiziako Krakovian gertatzen da. Izan ere: egunkariak irakurrita daude jada (orduan 4 orrialde zituzten), telebista eta telefonoa oraindik ez dira asmatu, ez dago futbol partidarik. Asperdura putzuetan. Horrelako egoera batean, jendeak entretenimendu bat sortu zuen. Gaur urrutiko agintea sakatu ondoren dauzkagu...

Erretiroa 2. Matematikako Irakasleen Elkartearen 2019ko bileran, Espainiako irakasle batek horma sendoak edozein koloretan margo ditzakeen programa informatiko bat erakutsi zuen. Pixka bat beldurgarria zen, eskuak bakarrik marraztu baitzituzten, ia gorputza moztu. Pentsatu nuen neure artean: zenbat diberti daiteke horrelako "itzaltze" batetik? Guztiak bi minutu behar ditu, eta laugarrenerako ez gara ezer gogoratzen. Bitartean, antzinako “orratze lanak” lasaitu eta hezten ditu. Sinisten ez duenak, saiatu dezala.

Goazen XNUMX. mendera eta gure errealitatera. Ez badugu erlaxaziorik nahi bolak denbora behar duen itsatsi moduan, orduan ikosaedro baten sareta bat marraztuko dugu gutxienez, zeinaren ertzak lau bola dituena. Nola egin? Moztu ondo 6. irudia. Irakurle adiak dagoeneko asmatzen du arazoa:

7. ataza. Posible al da bolak 0tik 9rako zenbakiekin zenbatzea, zenbaki horiek guztiak halako ikosaedro baten aurpegi bakoitzean ager daitezen?

Zertarako ordaintzen gaituzte?

Gaur askotan gure jardueren xedearen galdera egiten diogu geure buruari, eta "zergadun grisak" galdetuko die zergatik ordaindu behar dien matematikari horrelako puzzleak konpontzeko?

Erantzuna nahiko erraza da. Horrelako "puzzleak", berez interesgarriak, "zerbait serioago baten zati bat" dira. Azken finean, desfile militarrak zerbitzu zail baten kanpoko zati ikusgarria baino ez dira. Adibide bakarra jarriko dut, baina matematikako irakasgai arraro baina nazioartean aintzatetsita hasiko naiz. 1852an, ikasle ingeles batek bere irakasleari galdetu zion ea posible zen mapa bat lau kolorez margotzea, ondoko herrialdeak beti kolore ezberdinetan ager daitezen? Gehitu dezadan, ez ditugula "bizilagunak" hartzen puntu bakarrean elkartzen direnak, esaterako AEBetako Wyoming eta Utah estatuak. Irakasleak ez zekien... eta arazoa ehun urte baino gehiago zeramatzan konponbidearen zain.

8. RECO blokeetako ikosaedroa. Flash islatzaileak ikosaedroak triangeluarekin eta pentagonoarekin duen komunean erakusten du. Bost triangelu bat egiten dute erpin bakoitzean.

Ustekabean gertatu zen. 1976an, matematikari amerikar talde batek problema hau konpontzeko programa bat idatzi zuen (eta erabaki zuten: bai, lau kolore beti nahikoa izango dira). Hauxe izan zen "makina matematiko" baten laguntzaz lortutako egitate matematiko baten lehen froga -orain dela mende erdi esaten zioten ordenagailu bati (eta lehenago ere: "garun elektronikoa").

Hona hemen bereziki erakutsitako "Europako mapa" (irud. 9). Muga komun bat duten herrialde horiek konektatuta daude. Mapa margotzea grafiko honen zirkuluak margotzea bezalakoa da (grafikoa deitzen dena), beraz, konektatutako zirkulurik ez da kolore berekoa izan. Liechtenstein, Belgika, Frantzia eta Alemaniari begiratuta hiru kolore ez direla nahikoa ikusten da. Nahi baduzu, Irakurle, margotu lau kolorez.

9. Nork norekin egiten du muga Europan?

Tira, bai, baina merezi al du zergadunen dirua? Beraz, ikus dezagun grafiko bera modu ezberdinean. Ahaztu estatuak eta mugak daudela. Zirkuluek puntu batetik bestera bidali beharreko informazio-paketeak sinboliza ditzatela (adibidez, P-tik ESTra), eta segmentuek konexio posibleak adierazten dituzte, bakoitzak bere banda-zabalera du. Ahalik eta azkarren bidali?

Lehenik eta behin, ikus ditzagun egoera oso sinplifikatua, baina baita oso interesgarria den ikuspegi matematikotik. S puntutik (= hasiera gisa) M puntura (= amaiera) zerbait bidali behar dugu banda-zabalera bereko konexio-sare bat erabiliz, demagun 1. Hau ikusten dugu. irud. 10.

10. Statsyika Zdrój-tik Megapolis-era konexio sarea.

Imajina dezagun S-tik M-ra 89 bit inguru informazio bidali behar direla. Hitz hauen egileari gustatzen zaizkio trenen inguruko arazoak, eta, beraz, Stacie Zdrój-eko zuzendaria dela irudikatzen du, eta handik 144 bagoi bidali behar ditu. metropoli geltokira. Zergatik zehazki 144? Zeren, ikusiko dugunez, sare osoaren errendimendua kalkulatzeko erabiliko baita. Edukiera 1ekoa da lote bakoitzean, hau da. kotxe bat igaro daiteke denbora-unitate bakoitzeko (informazio-bit bat, agian Gigabyte ere).

Ziurta dezagun kotxe guztiak aldi berean elkartzen direla Mn. Denak 89 denbora-unitatetan iristen dira. S-tik M-ra bidaltzeko informazio pakete oso garrantzitsu bat badut, 144 unitateko taldetan zatitzen dut eta goian bezala bultzatzen dut. Matematikak hau azkarrena izango dela bermatzen du. Nola jakin nuen 89 behar dituzula? Egia esan, asmatu nuen, baina asmatu ez banuen, asmatu beharko nuke Kirchhoff-en ekuazioak (Inor gogoratzen al da? - Korrontearen fluxua deskribatzen duten ekuazioak dira). Sarearen banda-zabalera 184/89 da, hau da, gutxi gorabehera 1,62.

Pozaren inguruan

Bide batez, 144 zenbakia gustatzen zait. Zenbaki honekin autobusean ibiltzea gustatzen zitzaidan Varsoviako Gaztelu plazara –ondoan zaharberritutako Errege Gaztelurik ez zegoenean–. Agian irakurle gazteek badakite zer diren dozena bat. Hori da 12 ale, baina irakurle zaharragoek bakarrik gogoratzen dute dozena bat, alegia. 122=144, hau da lotea deritzona. Eta matematika eskola-curriculuma baino pixka bat gehiago dakiten guztiek berehala ulertuko dute hori irud. 10 Fibonacci zenbakiak ditugu eta sareko banda zabalera "urrezko zenbakia"tik gertu dagoela

Fibonacciren segidan, 144 da karratu perfektua den zenbaki bakarra. Ehun berrogeita lau ere «zenbaki alaia» da. Halaxe da matematikari amateur indiar bat Dattatreya Ramachandra Caprecar 1955ean, osatzen duten zifren baturarekin zatigarriak diren zenbakiak izendatu zituen:

Jakingo balu Adam Mickiewicz, zalantzarik gabe, ezetz idatziko zuen Dzyady-n: «Ama arrotz batetik; bere odola bere heroi zaharrak / Eta bere izena berrogeita lau, besterik ez dotoreagoa: Eta bere izena ehun eta berrogeita lau.

Hartu entretenimendua serio

Espero dut irakurleak konbentzitu ditudala Sudoku puzzleak serio hartzea merezi duten galderen alde dibertigarria direla. Ezin dut gai hau gehiago garatu. Oh, sareko banda-zabalera osoa kalkulua eskaintzen den diagramatik abiatuta irud. 9 ekuazio-sistema bat idazteak bi ordu edo gehiago beharko lituzke, agian hamar segundo (!) ordenagailuko lana.